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Das vorliegende Buch behandelt die unter dem Namen der konflu enten hypergeometrischen Funktion bekannte höhere transzendente Funktion, der in den physikalischen und technischen Anwendungen der Mathematik eine besonders in den letzten beiden Jahrzehnten ständig steigende Bedeutung zukommt. Es steht außer Zweifel, daß sich diese Tendenz in der Zukunft noch wesentlich verstärken wird, und so wie zunächst die Zylinderfunktionen nur von einigen Wenigen zuverlässig gehandhabt werden konnten, bis sie heute selbst schon dem rechnenden Ingenieur vertraut geworden sind, so wird auch die Theorie der all gemeineren konfluenten hypergeometrischen Funktion sehr bald einem immer größeren Kreis von Physikern geläufig sein. In diese Entwick lung soll das vorliegende Buch fördernd eingreifen. Die große praktische Bedeutung der hier behandelten Funktion bedarf schon deswegen kaum einer eingehenden Begründung, weil sie einmal eine große Zahl einfacherer spezieller Funktionen, die schon seit langem zum täglichen Werkzeug des Physikers gehören, als Sonderfälle umfaßt. Es genügt, an dieser Stelle zu erwähnen, daß dazu u. a. der Integrallogarithmus, der Integralsinus und -cosinus, das Fehlerintegral, die Fresnelschen Integrale, die Zylinderfunktionen und endlich die Funktionen des parabolischen Zylinders gehören. Es hat also derjenige, der sich die Mühe macht, die konfluente hypergeometrische Funktion eingehender zu studieren, den nicht hoch genug einzuschätzenden Vorteil, daß ihm die Theorie dieser Funktion die Eigenschaften der aus ihr ableit baren Funktionen sozusagen von einer höheren Warte aus zu über blicken gestattet.
Table des matières
Inhaltsverzeichnis..- I. Abschnitt. Die Differentialgleichung der konfluenten hypergeometrischen Funktion in ihren verschiedenen Formen und die Definitionen der sie lösenden Funktionen.-
1. Die Kummersche Differentialgleichung und ihre Lösungen.-
2. Die Whittakersche Differentialgleichung und ihre Lösungen.-
3. Verwandte Differentialgleichungen. Die Funktionen des parabolischen Zylinders. Höhere Ableitungen.-
4. Die Funktionen des Drehparabols und des parabolischen Zylinders als Partikularintegrale der Wellengleichung in den entsprechenden Koordinaten.- II. Abschnitt. Allgemeine Integraldarstellungen für die parabolischen Funktionen selbst und ihre Produkte.-
5. Integraldarstellungen für die einfachen parabolischen Funktionen.-
6. Integraldarstellungen für die Produkte aus zwei parabolischen Funktionen.- III. Abschnitt. Die Asymptotik der parabolischen Funktionen.-
7. Die Asymptotik bei großen Werten von z oder µ oder ?.-
8. Die Asymptotik bei großen Werten von z und ?.- IV. Abschnitt. Unbestimmte und bestimmte Integrale mit parabolischen Funktionen und einige unendliche Reihen.-
9. Unbestimmte Integrale mit parabolischen Funktionen.-
10. Die Laplace-Transformierte der parabolischen Funktionen.-
11. Verschiedene weitere Integrale mit parabolischen Funktionen und einige unendliche Reihen.- V. Abschnitt. Die den parabolischen Funktionen zugehörenden Polynome und unendliche Reihen mit diesen Polynomen.-
12. Reihen und Integrale mit Laguerre- Polynomen.-
13. Reihen und Integrale mit Hermite-Polynomen.-
14. Weitere besondere Polvnome und Funktionen.- VI. Abschnitt. Die Parameterintegrale in den Beziehungen für die verschiedenen Wellentypen der mathematischen Physik in den parabolischen Koordinaten.-
15. Integraleüber den vorderen Parameter von zwei und vier parabolischen ?-Funktionen.-
16. Die Integraldarstellungen für die verschiedenen Wellentypen der mathematischen Physik.- VII. Abschnitt. Nullstellen und Eigenwerte.-
17. Die Nullstellen der Funktion ??, µ/2 (z).-
18. Eigenwertprobleme mit parabolischen Funktionen.- Anhang II. Schrifttumsverzeichnis.
