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6.1.1. Auswahl-und Anordnungsprobleme Die Aufgaben der Kombinatorik lassen sich von Auswahl- oder Anordnungs problemen herleiten. Bei vielen praktischen und mathematischen Problemen ist die Kenntnis der Anzahl verschiedener Zusammenstellungen von ausgewählten Ele menten einer endlichen Menge wichtig. Diese Elemente können Zahlen, Buchstaben, Personen, Gegenstände, Versuche, Ereignisse u. a. sein. Wir werden sie in der Regel mit a1' a2' ... , an bezeichnen. Dabei wird zu beachten sein, daß verschiedene Elemente auch durch verschiedene Bezeichnungen und gleiche Elemente immer durch ein und dieselbe Bezeichnung dar gestellt werden. Zwei Zusammenstellungen sind grundsätzlich verschieden, wenn sie nicht die gleiche Anzahl von Elementen enthalten oder wenn in ihnen nicht genau die gleichen Elemente auftreten. Zum Beispiel sind die Zusammenstellungen a a2 a3 1 und a1 a3 bzw. a1 a2 a3 und a1 a2 a4 jeweils voneinander verschieden. Im folgenden sollen die sechs Grundaufgaben erläutert werden, auf die sich alle Probleme der Kombinatorik im wesentlichen zurückführen lassen. Bei einer ersten einfachen Aufgabe betrachten wir eine bestimmte Zusammen stellung sämtlicher n Elemente der Ausgangsmenge. Darin soll jedes Element nur einmal auftreten. Eine solche Zusammenstellung wird eine Permutation genannt.
Table des matières
1. Zum Anliegen des Bandes.- 2. Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehungen zur Praxis.- 2.1. Aus der Entwickluhgsgeschichte der Mathematik.- 2.2. Zu den Anwendungen der Mathematik.- 3. Logik.- 3.1. Aussagen.- 3.2. Variable und Aussageformen.- 3.3. Aussagenverbindungen.- 3.4. Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung.- 4. Einige Beweisprinzipien.- 4.1. Logische Schlüsse.- 4.2. Beispiele zur Anwendung logischer Schlüsse beim Führen von Beweisen.- 4.3. Die Methode der vollständigen Induktion.- 5. Aufbau der Zahlenbereiche.- 5.1. Der Bereich der reellen Zahlen.- 5.2. Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen.- 5.3. Komplexe Zahlen.- 6. Kombinatorik.- 6.1. Einführung.- 6.2. Permutationen.- 6.3. Variationen.- 6.4. Kombinationen.- 6.5. Übersicht zu den Grundaufgaben der Kombinatorik.- 7. Mengen.- 7.1. Zum Begriff der Menge.- 7.2. Spezielle Mengen.- 7.3. Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen.- 7.4. Über Mächtigkeit von Mengen.- 7.5. Produktmengen.- 7.6. Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge (System).- 7.7. Operationen zwischen den Elementen einer Menge (linearer Raum).- 7.8. Metriken in Mengen (metrischer Raum, Umgebungsbegriff).- 7.9. Weitere Anwendungen (Graphen, konvexe Polyeder).- 8. Abbildungen.- 8.1. Abbildungsbegriff.- 8.2. Lineare Abbildungen.- 8.3. Umkehrabbildung.- 8.4. Einige spezielle Abbildungen.- 9. Funktionen reeller Variabler.- 9.1. Begriff der Funktion und Arten ihrer Vorgabe.- 9.2. Umkehrfunktion (für eine unabhängige Variable).- 9.3. Einfachste Eigenschaften von Funktionen.- 9.4. Grundfunktionen einer Variablen.- 9.5. Mittelbare und elementare Funktionen.- 9.6. Interpolation (Newton).- 9.7. Darstellung von Funktionen mittels Parameter.- 9.8. Anwendungen von Funktionen.- 9.9.Funktionsleitern und Netze.- 10. Zahlenfolgen.- 10.1. Zahlenfolgen als Spezialfall von Abbildungen und einige ihrer besonderen Vertreter.- 10.2. Einfachste Eigenschaften von Zahlenfolgen.- 10.3. Nullfolgen und ihr Vergleich.- 10.4. Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen.- 10.5. Eigenschaften von und Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen.- 10.6. Konvergenzkriterien.- 10.7. Einige spezielle Zahlenfolgen.- 10.8. Häufungspunkte und lim sup sowie lim inf.- 10.9. Bedeutung von Zahlenfolgen und Grenzwert für die numerische Mathematik.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachregister.
