Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus - Bd.2: Geometrie

VI Jahren sichtlich immer mehr, insbesondere auch im Auslande, zur Gel tung. Aber nicht minder ist meine Dberzeugung (was ich nie unter lassen habe, hinzuzufUgen), daB ein solcher Unterricht, entsprechend der heutigen Entwickelung der Wissenschaft, fUr die Ausbildung der Fachmathematiker auf der Oberstufe nicht geniigt, daB hier vielmehr neben den Tatsachen der Anschauung die zentra1e Bedeutung des modernen Zahlbegriffs und der weitgehenden mit ihm zusammen hangenden Entwickelungen hervortreten muB. Und nun vermisse ich in den Lehrbiichern und Vorlesungen, welche ich kenne, die Dber leitung von der einen Auffassung zur anderen. Hier will sich die f- gende Darstellung als eine Erganzung einschieben; ihr bestes Ziel wird erreicht sein, wenn sie sich eines Tages a1s iiberfliissig erweisen sonte, weil die Dberlegungen, die sie bringt, zu selbstverstandlichen Bestand teilen jedes hoheren mathematischen Unterrichts geworden sind. G6ttingen, den 28. Februar 1902. F. Klein. Vorwort zur zweiten Auflage. Das Folgende ist im wesentlichen ein unveranderter Abdruck der ersten Ausgabe dieser Vor1esungen yom Jahre 1902. N ur an einzelnen Stellen sind einige Ungenauigkeiten verbessert, sowie in gelegentlichen Zusatzen Hinweise auf neuere Publikationen gegeben, die in engstem Zusammen hange mit den in der Vorlesung gegebenen Entwickelungen stehen. Am Schlusse ist ein Abdruck des "Gutachtens der Gottinger phi1osophischen Faku1tat betreffend die Beneke-Preisaufgabe fUr 1901", auf das die Aus fiihrungen des Textes verschiedentlich Bezug nehmen, hinzugefiigt. G6ttingen, den 5. Januar 1907. C. H. Miiller. Vorwort zur dritten Auflage. Die Vorlesung F.

Table des matières

Erster Teil: Von den Funktionen reeller Veränderlicher und ihrer Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem..- I. Erläuterungen über die einzelne unabhängige Variable x.- Empirische und abstrakte Genauigkeit. Der moderne Zahlbegriff.- Präzisions- und Approximationsmathematik, auch in der reinen Geometrie.- Anschauung und Denken, erläutert an verschiedenen Teilen der Geometrie.- Erläuterung an zwei einfachen Sätzen über Punktmengen.- II. Funktionen y = f (x) einer Veränderlichen x.- Die abstrakte und die empirische Festlegung einer Funktion (Idee des Funktionsstreifens).- Von der Leistungsfähigkeit der räumlichen Anschauung.- Von der Genauigkeit der Naturgesetze (mit Exkurs über die verschiedenen Ideen betr. die Konstitution der Materie).- Attribute der empirischen Kurve: Zusammenhang, Richtung, Krümmung.- Cauchys Definition der stetigen Funktion. Wie weit reicht die Analogie mit der empirischen Kurve ?.- Die Integrierbarkeit der stetigen Funktion.- Der Satz von der Existenz des größten bzw. kleinsten Wertes.- Die vier Derivierten.- Weierstraß nichtdifferenzierbare Funktion; ihr Allgemeinverlauf.- Ihre Nichtdifferenzierbarkeit.- Die vernünftigen Funktionen.- III. Von der angenäherten Darstellung der Funktionen..- Approximation empirischer Kurven durch vernünftige Funktionen.- Annäherung vernünftiger Funktionen durch einfache analytische Ausdrücke.- Lagranges Interpolationsformel.- Der Taylorsche Satz und die Taylorsche Reihe.- Annäherung des Integrals und des Differentialquotienten durch das Lagrangesche Polynom.- Von den analytischen Funktionen und ihrer Verwendung für die Naturerklärung.- Interpolation durch eine endüche trigonometrische Reihe.- IV. Nähere Ausführungen zur trigonometrischen Darstellung der Funktionen..- Fehlerabschätzung bei der Darstellung empirischer Funktionen.- Trigono metrische Interpolation gemäß der Methode der kleinsten Quadrate.- Der harmonische Analysator.- Beispiele trigonometrischer Reihen.- Tschebyscheffs Arbeiten über Interpolation.- V. Funktionen zweier Veränderlicher..- Stetigkeit.- Vertauschbarkeit der Differentiationsfolge. Praktisches Beispiel einer Funktion, für welche (math).- Approximative Darstellung von Funktionen der Kugelfläche durch Reihen nach Kugelfunktionen.- Die Werteverteilung der Kugelfunktionen über die Kugel hin.- Fehlerschätzung bei der abbrechenden Kugelfunktionenreihe.- Zweiter Teil: Freie Geometrie ebener Kurven..- I. Präzisionstheoretische Betrachtungen zur ebenen Geometrie..- Sätze über Punktmengen.- Punktmengen, die durch Inversion an zwei oder mehr sich nicht schneidenden Kreisen entstehen.- Eigenschaften dieser Mengen.- Begriff des 2-dimensionalen Kontinuums. Allgemeiner Kurvenbegriff.- Von der Peano-Kurve, die ein ganzes Quadrat überdeckt.- Engerer Kurvenbegriff: die Jordan-Kurve.- Weitere Einengung des Kurvenbegriffs: die reguläre Kurve.- Approximation anschaulicher Kurven durch reguläre Idealkurven.- Vorstellbarkeit der Idealkurven.- Spezialisierung der Idealkurven: Analytische, algebraische Kurven. Geometrische Erzeugung der letzteren nach Graßmann.- Beherrschung des Empirischen durch Idealgebilde; Perrys Standpunkt.- II. Fortsetzung der präzisionstheoretischen Betrachtungen zur ebenen Geometrie..- Iterierte Inversion an zwei sich berührenden Kreisen.- Dasselbe an drei sich berührenden Kreisen (,,Modulfigur ).- Der Normalfall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden Kreisen.- Der allgemeine Fall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden Kreisen.- Eigenschaften der hierbei entstehenden nichtanalytischen Kurven.- Voraussetzung dieser ganzen Entwickelungen. Weitere Idealisierung bei Veronese.- III. Übergang zur praktischen Geometrie: a) Geodäsie..- Ungenauigkeit aller praktischen Messungen. Ausführungen beim Snelliusschen Problem.- Festlegung des Genauigkeitsmaßes durch iterierte Messungen. Prinzipielle Auffassung der Methode der kleinsten Quadrate.- Approximatives Rechnen, erläutert a

Détails du produit

• Auteurs: Felix Klein
• Edition: Springer, Berlin
• Langues: Allemand
• Format d'édition: Livre Relié
• Sortie: 01.01.1968
• EAN: 9783540041276
• ISBN: 978-3-540-04127-6
• Pages: 302
• Poids: 594 g
• Illustrations: 302S.
• Séries: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus; Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus
• Thèmes: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften; Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
• Catégorie: Sciences naturelles, médecine, informatique, technique > Mathématiques