Aus 1 mach 2 - Wie Mathematiker Kugeln verdoppeln

Nehmen Sie einen Apfel und schneiden Sie ihn in fünf Teile. Würden Sie es für möglich halten, dass Sie diese fünf Teile so zusammensetzen können, dass Sie zwei Äpfel der gleichen Form und Größe wie der ursprüngliche erhalten? Würden Sie glauben, dass Sie so etwas Großes wie die Sonne herstellen können, indem Sie eine Erbse in endlich viele Stücke zerteilen und diese neu zusammensetzen? Auch Leonard Wapner, der Autor dieses Buches, hielt dies für unmöglich, als er zum ersten Mal auf das Banach-Tarski-Paradoxon stieß, welches ein derartige Behauptung aufstellte. In einem ansprechenden Stil geschrieben, macht uns Aus 1 mach 2 (Originaltitel "The Pea and The Sun") mit all den Menschen, Ereignissen und den mathematischen Grundlagen bekannt, die zur Entdeckung des "magischen" Paradoxons von Banach und Tarski führten. Wapner macht damit eines der interessantesten Probleme der höheren Mathematik auch Nichtmathematikern zugänglich. "Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird." Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen. ((Klappe vorne)) Banach und Tarski haben einen der verblüffendsten mathematischen Sätze bewiesen: Eine Kugel kann in fünf Teile zerlegt werden; drei dieser Teile können zu einer neuen Kugel der gleichen Größe zusammengesetzt werden, ebenso die anderen zwei. Aus 1 mach 2 - und kein einziger Punkt fehlt! Stimmen zu Originalausgabe "In diesem Buch behandelt Wapner in einer exzellenten allgemeinverständlichen Form eines der bizarrsten und kontroversesten Theoreme in der Mathematik. Die Geschichte, die er uns erzählt, ist lebendig, lesbar und auch dem Nichtmathematiker zugänglich." Matthew Foreman, Professor fürMathematik und Philosophie an der University of California in Irvine. "Unbeschwert und dennoch solide, ernsthaft aber nicht trübsinnig - so präsentiert Wapner das jetzt bereits klassische Banach-Tarski-Paradoxon vor dem Hintergrund von Logik, Mengenlehre, Rätseln und ungelösten Problemen." Philip J. Davis, Brown Universität, Mitautor von Erfahrung Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

Danksagungen

Einführung

1 Geschichte: Eine Besetzungsliste
Georg Cantor - Der Begründer der modernen Mengenlehre
Stefan Banach und Alfred Tarski
Kurt Gödel - Die Konsistenz des Auswahlaxioms
Paul Cohen - Die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms

2 Puzzles, Trugschlüsse und andere Kuriositäten
Paradoxa und Antinomien
Puzzles und Fehlschlüsse

3 Präliminarien
Mengenlehre
Isometrien
Scherenkongruenz
Zerlegungsgleichheit

4 Baby Banach-Tarski-Paradoxa
Verschiebung ins Unendliche
Dehnung
Cantor-Staub
Vitalis Konstruktionsparadoxa
Stewarts Hyperwebster
Das Sierpinski-Mazurkiewicz-Paradoxon

5 Behauptung und Beweis des Theorems
Behauptung des Banach-Tarski-Theorems
Beweis des Banach-Tarski-Theorems

6 Lösung
Man erkläre das Ergebnis als irrig
Man nehme das Theorem für bare Münze
Man interpretiere das Ergebnis neu

7 Die wirkliche Welt
Hirngespinste
Spekulation
Realität

8 Gestern, heute und morgen
Gestern
Heute
Morgen

Literatur

Bildnachweis

Index

Über den Autor / die Autorin

Leonard M. Wapner
ist Professor für Mathematik am El Camino College in Torrance, California.

Zusammenfassung

Nehmen Sie einen Apfel und schneiden Sie ihn in fünf Teile. Würden Sie es für möglich halten, dass Sie diese fünf Teile so zusammensetzen können, dass Sie zwei Äpfel der gleichen Form und Größe wie der ursprüngliche erhalten? Würden Sie glauben, dass Sie so etwas Großes wie die Sonne herstellen können, indem Sie eine Erbse in endlich viele Stücke zerteilen und diese neu zusammensetzen? Auch Leonard Wapner, der Autor dieses Buches, hielt dies für unmöglich, als er zum ersten Mal auf das Banach-Tarski-Paradoxon stieß, welches ein derartige Behauptung aufstellte. In einem ansprechenden Stil geschrieben, macht uns Aus 1 mach 2 (Originaltitel „The Pea and The Sun“) mit all den Menschen, Ereignissen und den mathematischen Grundlagen bekannt, die zur Entdeckung des „magischen“ Paradoxons von Banach und Tarski führten. Wapner macht damit eines der interessantesten Probleme der höheren Mathematik auch Nichtmathematikern zugänglich. „Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird.“ Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen. ((Klappe vorne)) Banach und Tarski haben einen der verblüffendsten mathematischen Sätze bewiesen: Eine Kugel kann in fünf Teile zerlegt werden; drei dieser Teile können zu einer neuen Kugel der gleichen Größe zusammengesetzt werden, ebenso die anderen zwei. Aus 1 mach 2 – und kein einziger Punkt fehlt! Stimmen zu Originalausgabe „In diesem Buch behandelt Wapner in einer exzellenten allgemeinverständlichen Form eines der bizarrsten und kontroversesten Theoreme in der Mathematik. Die Geschichte, die er uns erzählt, ist lebendig, lesbar und auch dem Nichtmathematiker zugänglich.“ Matthew Foreman, Professor fürMathematik und Philosophie an der University of California in Irvine. „Unbeschwert und dennoch solide, ernsthaft aber nicht trübsinnig – so präsentiert Wapner das jetzt bereits klassische Banach-Tarski-Paradoxon vor dem Hintergrund von Logik, Mengenlehre, Rätseln und ungelösten Problemen.“ Philip J. Davis, Brown Universität, Mitautor von Erfahrung Mathematik.

Zusatztext

" "Aus 1 mach 2" ist ein sehr anspruchsvoll geschriebenes Buch, das eines der verblüffendsten Paradoxa der Mathematik gut erklärt. Ich werde es vielen mathematisch interessierten Freunden empfehlen."
www.spektrum-direkt.de, November 2008
b>Stimmen zu Originalausgabe: „Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird.“ Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen. „In diesem Buch behandelt Wapner in einer exzellenten gemeinverständlichen Form eines der bizarrsten und kontroversesten Theoreme in der Mathematik. Die Geschichte, die er uns erzählt, ist lebendig lesbar und auch dem Nichtmathematiker zugänglich.“ Matthew Foreman, Professor für Mathematik und Philosophie an der University of California in Irvine. „Unbeschwert und dennoch solide, ernsthaft aber nicht trübsinnig – so präsentiert Wapner das jetzt bereits klassische Banach-Tarski-Paradoxon vor dem Hintergrund von Logik, Mengenlehre, Rätseln und ungelösten Problemen.“ Philip J. Davis, Brown Universität, Mitautor von Erfahrung Mathematik. "Leonard M. WapnerThe Pea and the Sun relates the story of the people, events, and mathematics that led to the fomulation of the Banach-Tarski Paradox in 1924. This theorem states that a sphere can be broken into pieces which can be reassembled into two spheres equal in volume to the first! Wapner entertainingly renders advanced mathematics accessible to the layman." Librarian's Choice 2005 Non-Fiction “The author gives a fascinating account, in a journalistic style, of the history of the Banach-Tarski Theorem, devoting a chapter to the cast of characters, including Georg Cantor, Kurt Gödel, Paul Cohen, and of course Stefan Banachand Alfred Tarski… .What is presented in this book is maths for its own sake: beautiful, elegant, artistic, astonishing… . it would surely make a great present for a budding pure mathematician - and what a present it would be, to give someone their first inkling of the wonders that lie at the heart of pure mathematics.” Plus Magazine "Written in a fresh, captivating, friendly style, The Pea And The Sun is remarkably engaging and will appeal to any reader with a discerning, inquisitive mind into the nature of the so-called impossible, regardless of their particular mathematical background.” Book Watch

Bericht

" "Aus 1 mach 2" ist ein sehr anspruchsvoll geschriebenes Buch, das eines der verblüffendsten Paradoxa der Mathematik gut erklärt. Ich werde es vielen mathematisch interessierten Freunden empfehlen."
www.spektrum-direkt.de, November 2008
b>Stimmen zu Originalausgabe: "Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird." Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen. "In diesem Buch behandelt Wapner in einer exzellenten gemeinverständlichen Form eines der bizarrsten und kontroversesten Theoreme in der Mathematik. Die Geschichte, die er uns erzählt, ist lebendig lesbar und auch dem Nichtmathematiker zugänglich." Matthew Foreman, Professor für Mathematik und Philosophie an der University of California in Irvine. "Unbeschwert und dennoch solide, ernsthaft aber nicht trübsinnig - so präsentiert Wapner das jetzt bereits klassische Banach-Tarski-Paradoxon vor dem Hintergrund von Logik, Mengenlehre, Rätseln und ungelösten Problemen." Philip J. Davis, Brown Universität, Mitautor von Erfahrung Mathematik. "Leonard M. WapnerThe Pea and the Sun relates the story of the people, events, and mathematics that led to the fomulation of the Banach-Tarski Paradox in 1924. This theorem states that a sphere can be broken into pieces which can be reassembled into two spheres equal in volume to the first! Wapner entertainingly renders advanced mathematics accessible to the layman." Librarian's Choice 2005 Non-Fiction "The author gives a fascinating account, in a journalistic style, of the history of the Banach-Tarski Theorem, devoting a chapter to the cast of characters, including Georg Cantor, Kurt Gödel, Paul Cohen, and of course Stefan Banachand Alfred Tarski... .What is presented in this book is maths for its own sake: beautiful, elegant, artistic, astonishing... . it would surely make a great present for a budding pure mathematician - and what a present it would be, to give someone their first inkling of the wonders that lie at the heart of pure mathematics." Plus Magazine "Written in a fresh, captivating, friendly style, The Pea And The Sun is remarkably engaging and will appeal to any reader with a discerning, inquisitive mind into the nature of the so-called impossible, regardless of their particular mathematical background." Book Watch

Produktdetails

• Autoren: Leonard M Wapner, Leonard M. Wapner
• Mitarbeit: H. Höfner (Übersetzung), Harald Höfner (Übersetzung), B. Post (Übersetzung), Brigitte Post (Übersetzung)
• Verlag: Springer Spektrum
• Originaltitel: The Pea and the Sun - A Mathematical Paradox
• Sprache: Deutsch
• Produktform: Fester Einband
• Erschienen: 01.01.2010
• EAN: 9783827418517
• ISBN: 978-3-8274-1851-7
• Seiten: 264
• Gewicht: 379 g
• Illustration: X, 264 S. 134 Abb.
• Themen: Naturwissenschaften, Medizin, Informatik, Technik > Technik; Sachbuch > Natur, Technik > Naturwissenschaft; Logik (mathematisch), A, Life Sciences, Science, Mathematics, Humanities, Humanities and Social Sciences, Mathematics and Statistics, Interdisciplinary studies, Mathematics, general, Life sciences: general issues, Technology and Engineering, Popular works, Mathematics and Computing, Physical Sciences, Popular Science, general, Mathematics and science