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Diesem Buch liegen verschiedene Grund-und Spezialvorlesungen zur Theorie und Numerik der Optimierung, welche die Autoren in den zurückliegenden Jahren an der Technischen Universität Dresden vorrangig für Studenten der Mathematik ge halten haben, zugrunde. Ebenso sind Erfahrungen aus Gastlehrtätigkeiten an an deren Universitäten, insbesondere an der Universität Kuwait, eingeflossen. Das vorliegende Manuskript entstand aus dem Bedürfnis heraus, den Studieren den, aber auch mathematisch interessierten Naturwissenschaftlern und Ingenieuren ein Lehrbuch zur Verfügung zu stellen, in dem gemeinsam wesentliche Grundprin zipien für unterschiedliche Klassen von Optimierungsaufgaben behandelt werden. Dabei umfaßt das Spektrum der einbezogenen Probleme optimierungstheoretische Fragen, wie Existenz und Charakterisierung von Optima, Hauptlinien der algorith mischen Behandlung stetiger und diskreter Optimierungsprobleme bis hin zu spe ziellen Fragen, wie z.B. Dekompositionstechniken zur Berücksichtigung problem spezifischer Strukturen. Das Buch widmet sich schwerpunktmäßig endlichdimensionalen stetigen und diskreten Optimierungsproblemen, zeigt aber auch Verallgemeinerungen zu Auf gaben in Funktionenräumen auf. Dabei wird im Unterschied zu existierenden Lehrbüchern, bei denen endlichdimensionale Probleme als Spezialfall abstrakter Aufgaben mit skizziert werden, hier exemplarisch eine Sicht von den endlichdimen sionalen Problemen ausgehend auf die abstrakten Aufgaben angestrebt. Insbeson dere sollen damit auch Verbindungen der Numerik der Optimierung zu anderen mathematischen Spezialgebieten, wie z.B. zur Methode der Finiten Elemente und zur Diskretisierung von Variationsungleichungen aufgezeigt werden.
Sommario
1 Optimierungsaufgaben und Optimalitätskriterien.- 1.1 Globale und lokale Optima, Konvexität.- 1.2 Optimalitätsbedingungen.- 1.3 Semiinfinite Probleme.- 1.4 Ganzzahlige Probleme.- 1.5 Optimierung über Graphen.- 2 Dualität.- 2.1 Duale Probleme.- 2.2 Gestörte Optimierungsprobleme.- 2.3 Anwendungen der Dualität.- 3 Minimierung ohne Restriktionen.- 3.1 Gradientenverfahren.- 3.2 Das Newton-Verfahren.- 3.3 Quasi-Newton-Verfahren.- 3.4 CG-Verfahren.- 3.5 Minimierung nichtglatter Funktionen.- 4 Linear restringierte Probleme.- 4.1 Polyedrische Mengen.- 4.2 Lineare Optimierung.- 4.3 Minimierung über Mannigfaltigkeiten.- 4.4 Probleme mit Ungleichungsrestriktionen.- 5 Strafmethoden.- 5.1 Das Grundprinzip von Strafmethoden.- 5.2 Konvergenzabschätzungen.- 5.3 Modifizierte Lagrange-Funktionen.- 5.4 Strafmethoden und elliptische Randwertprobleme.- 6 Approximationsverfahren.- 6.1 Verfahren der zulässigen Richtungen.- 6.2 Überlinear konvergente Verfahren.- 7 Komplexität.- 7.1 Definitionen, Polynomialität.- 7.2 Nichtdeterministisch polynomiale Algorithmen.- 7.3 Optimierungsprobleme und die Klasse NP-hart.- 7.4 Komplexität in der linearen Optimierung.- 8 Innere-Punkt- und Ellipsoid-Methoden.- 8.1 Konvexe Zielfunktion, Potentialfunktionen.- 8.2 Der Algorithmus von Karmarkar.- 8.3 Die Ellipsoid-Methode.- 8.4 Behandlung linearer Optimierungsaufgaben.- 9 Aufgaben über Graphen.- 9.1 Definitionen.- 9.2 Graphen und lineare Optimierung.- 9.3 Aufdatierungen in Graphen.- 9.4 Probleme aus der Klasse NP-vollständig.- 10 Die Methode branch and bound.- 10.1 Relaxation, Separation, Strategien.- 10.2 Branch and bound für GLO.- 10.3 Das Rundreiseproblem.- 11 Dekomposition.- 11.1 Dekompositionsprinzipien.- 11.2 Dynamische Optimierung.- 11.3 Ausgewählte Anwendungen.- 12Strukturuntersuchungen.- 12.1 Ganzzahlige Polyeder.- 12.2 Gültige Ungleichungen.- 12.3 Matroide, Greedy-Algorithmus.
