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Die theoretische Logik, auch mathematische oder symbolische Logik genannt, ist eine Ausdehnung der fonnalen Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik. Sie wendet fUr die Logik eine ahnliche Fonnel sprache an, wie sie zum Ausdruck mathematischer Beziehungen schon seit langem gebrauchlich ist. In der Mathematik wurde es heute als eine Utopie gelten, wollte man beim Aufbau einer mathematischen Disziplin sich nur der gewohnlichen Sprache bedienen. Die groBen Fortschritte, die in der Mathematik seit der Antike gemacht worden sind, sind zum wesentlichen Teil mit dadurch bedingt, daB es gelang, einen brauchbaren und leistungsfahigen Fonnalismus zu finden. - Was durch die Formel sprache in der Mathematik erreicht wird, das solI auch in der theoretischen Logik durch diese erzielt werden, namlich eine exakte, wissenschaftliche Behandlung ihres Gegenstandes. Die logischen Sachverhalte, die zwischen Urteilen, Begriffen usw. bestehen, finden ihre Darstellung durch Formeln, deren Interpretation frei ist von den Unklarheiten, die beim sprachlichen Ausdruck leicht auftreten konnen. Der Dbergang zu logischen Folgerungen, wie er durch das SchlieBen geschieht, wird in seine letzten Elemente zerlegt und erscheint als fonnale Umgestaltung der Ausgangsfonneln nach gewissen Regeln, die den Rechenregeln in der Algebra analog sind; das logische Denken findet sein Abbild in einem LogikkalkUl. Dieser Kalkiil macht die erfolgreiche Inangriffnahme von Problemen moglich, bei denen das rein inhaltliche Denken prinzipiell versagt. Zu diesen gehort z. B.
Sommario
Erstes Kapitel Der Aussagenkalkül.-
1. Einführung der logischen Grundverknüpfungen.-
2. Die Aussagenverknüpfungen als Wahrheitsfunktionen.-
3. Einführung von Variablen; allgemeingültige Aussagenformen.-
4. Äquivalenzen; Entbehrlichkeit von Grundverknüpfungen.-
5. Die konjunktive und die disjunktive Normalform für Ausdrücke.-
6. Das Prinzip der Dualität.-
7. Mannigfaltigkeit der Aussageformen, die mit gegebenen Aussage variablen gebildet werden können.-
8. Erfüllbarkeit einer Aussageform; Folgerungen aus gegebenen Axiomen.-
9. Axiomatik des Aussagenkalküls.- *
10. Der intuitionistische Aussagenkalkül.- *
11. Der Begriff einer strengen Implikation.- Übungen zum ersten Kapitel.- Zweites Kapitel Der Klassenkalkül.-
1. Klassenverknüpfungen und die Beziehungen zwischen Klassen.-
2. Die allgemeingültigen Ausdrücke des Klassenkalküls.-
3. Systematische Ableitung der traditionellen Aristotelischen Schlüsse.- Übungen zum zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel Der engere Prädikatenkalkül.-
1. Unzulänglichkeit des bisherigen Kalküls.-
2. Methodische Grundgedanken des Prädikatenkalküls.-
3. Ausdrücke und ihre Allgemeingültigkeit.-
4. Ein Axiomensystem für die allgemeingültigen Ausdrücke.-
5. Sätze über das Axiomensystem.-
6. Die Ersetzungsregel; Bildung des Gegenteils eines Ausdrucks; das Dualitätsprinzip.-
7. Die pränexe Normalform; die Skolemsche Normalform.-
8. Die Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit des Axiomensystems.-
9. Der Prädikatenkalkül mit Identität.-
10. Axiomatik wissenschaftlicher Theorien; mehrsortiger Prädikatenkalkül; Axiomensysteme der ersten und der zweiten Stufe.-
11. Das Entscheidungsproblem.-
12. Der Begriff "derjenige,welcher"; Einführung von Funktionen.- Übungen zum dritten Kapitel.- Viertes Kapitel Der erweiterte Prädikatenkalkül.-
1. Erweiterung des Prädikatenkalküls durch Hinzunahme der Quantoren für Prädikaten variable.-
2. Einführung von Prädikatenprädikaten; logische Behandlung des Anzahlbegriffs.-
3. Darstellung der Grundbegriffe der Mengenlehre im erweiterten Kalkül.-
4. Die logischen Paradoxien.-
5. Der Stufenkalkül.-
6. Anwendung des Stufenkalküls.- Namen- und Sachverzeichnis.
Info autore
David Hilbert (1862-1943) gilt als der vielleicht universellste Mathematiker des ausgehenden 19. und beginnenden 20. Jahrhunderts. Er hat auf zahlreichen Gebieten der Mathematik und der mathematischen Physik grundlegende neue Resultate vorgelegt und wesentliche Entwicklungen angebahnt.
