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Ziff. 57. 313 ist. Die letzten beiden Gleichungen geIten aber nicht mehr fUr eine Losung (56.5), bei der sowohl w wie auch a willkiirlich vorgegeben sind. Dies ware ja auch im Widerspruch zu dem in Ziff. 47 fUr die Potentialgleichung bewiesenen Satz, daB nicht gleichzeitig beide Randwerte "P und o"P/on willkiirlich vorgegeben werden konnen. Wenn w und a willkiirlich vorgegeben sind, stellt (56.5) zwar im Innern auch eine Losung der Differentialgleichung (56.2) dar, fUr die aber bei Annaherung an den Rand die Werte "P und o"P/on nicht gegen - 4na bzw. 4nw konvergieren. Gl. (56.4) zeigt, wie auch bei unstetigen Randbedingungen "P (r) im Innern des Gebietes samt den auftretenden Ableitungen stetig wird, sofern nur e (r) selbst diese Eigenschaften hat. Diese Tatsache, die schon fUr die zweidimensionale Potentialgleichung aus der Funktionentheorie entnommen wurde, zeigt wieder einen deutlichen Unterschied der elliptischen Differentialgleichung (56.2) gegen iiber der hyperbolischen Wellengleichung. Bei der Wellengleichung pflanzt sich eine Unstetigkeit der Anfangswerte durch das raum-zeitliche Grundgebiet langs der Charakteristiken fort. Hier dagegen gibt es keine reellen Charakteristiken, und Unstetigkeiten der Randwerte setzen sich nicht in das Grundgebiet fort. III. Eigenwertprobleme. 57. Problemstellung. Es solI vorausgesetzt werden, daB die lineare Differential gleichung zweiter Ordnung (57.1 ) als passenden Rand einen geschlossenen Rand zulaBt, der als Oberflache ein "Grundgebiet" abgrenzt. Es solI also ein "echtes" Randwertproblem vorliegen.
Sommario
Grundbegriffe der klassischen Analysis, gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionentheorie.- I. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen.- II. Differentialrechnung.- III. Reelle Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen.- IV. Integralrechnung.- V. Unendliche Reihen.- VI. Funktionen von komplexen Veränderlichen.- VII. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- Anhang: Das Lebesguesche Integral.- Partielle Differentialgleichungen.- 1. Allgemeine Begriffe.- 2. Systeme in der Normalform.- 3. Quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 4. Jacobischer Multiplikator.- 5. Allgemeine partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei unabhängigen Veränderlichen. Mongesches Richtungsfeld.- 6. Charakteristiken und charakteristische Streifen.- 7. Charakteristiken der quasilinearen Differentialgleichungen in zwei unabhängigen Veränderlichen.- 8. Vollständiges und allgemeines Integral.- 9. Flächenscharen und singuläre Integrale.- 10. Partielle Clairautsche Differentialgleichung.- 11. Bestimmung eines vollständigen Integrals.- 12. Berührungstransformationen.- 13. Allgemeine partielle Differentialgleichung erster Ordnung in n unabhängigen Veränderlichen.- 14. Vollständige, allgemeine und singulare Integrale bei n Veränderlichen.- 15. Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.- 16. Kanonische Gleichungen und kanonische Transformationen, PoissoNsche Klammern.- 17. Allgemeine Berührungstransformationen, Jacobische Klammern.- 18. Totale Differentialgleichungen.- 19. Pfaffsche Formen.- 20. Lagrangesche Klammern.- 21. Infinitesimale kanonische Transformationen.- 22. Integralinvarianten.- 23. Pfaffsche und Hamiltonsche Systeme.- 24. Allgemeine partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 25. Halblineare partielleDifferentialgleichungen zweiter Ordnung.- 26. Lineare hyperbolische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- Elliptische Funktionen und Integrale.- 1. Doppeltperiodische Funktionen.- 2. ?-Funktion.- 3. ?-Funktion.- 4. ?-Funktion.- 5. Elliptische Funktionen.- 6. Elliptische Integrale.- 7. Riemannsche Fläche für eine Quadratwurzel aus einem Polynom vierten Grades.- 8. Konforme Abbildung durch die ?-Funktion.- 9. Parallelverschiebung des Periodengitters.- 10. Drehstreckung des Periodengitters.- 11. Weierstrasssche Normalform.- 12. Konforme Abbildung zweier Riemannscher Flächen in der Weierstrassschen Normalform.- 13. Primitive Perioden.- 14. Modulsubstitutionen.- 15. Modulfunktionen.- 16. Gitterteilung.- 17. Komplexe Multiplikation.- 18. Reduktion der elliptischen Integrale.- 19. Legendresche Normalform.- 20. Thetafunktionen.- 21. Jacobische Funktionen.- 22. Transformation der Thetafunktionen.- Literatur.- Spezielle Funktionen der mathematischen Physik.- A. Definitionen und einfache Eigenschaften.- B. Die speziellen Funktionen als Lösungen von Differentialgleichungen.- C. Die einfachen speziellen Funktionen als Lösungen von Funktionalgleichungen.- D. Differenzengleichungen und spezielle Funktionen.- E. Produkte spezieller Funktionen als Lösungen der Schwingungsgleichung.- F. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen.- Bibliographie.- Randwertprobleme.- A. Orthogonale Funktionssysteme.- B. Lineare Integralgleichungen.- C. Variationsrechnung.- D. Randwertprobleme bei Differentialgleichungen der Physik.- Literatur.- Sachverzeichnis (Deutsch-Englisch).- Subject Index (English-German).
