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Dieses Buch ist für die Lehrer an höheren Schulen geschrieben, für die, die sich auf diesen Beruf vorbereiten und für alle diejenigen, die die Geometrie lieben. Es wird auch mit Erfolg von 15- bis 18-jährigen Schülern unter Anleitung ihrer Lehrer verwendet werden können. Euklid gründete seine ebene Geometrie auf die Kongruenz von Dreiecken. Drei undzwanzig Jahrhunderte später definieren die Mathematiker die Ebene als einen affinen mit einem skalaren Produkt versehenen zweidimensionalen Raum. Ich habe gedacht, daß unsere Schüler eine Darstellung der Geometrie brauchen, die wie bei Euklid von der sinnlich wahrnehmbaren Welt ausgeht, es ihnen aber er laubt, recht bald die passenden und fruchtbaren Hilfsmittel der Algebra zu be nutzen. Dieses Buch bietet also eine Axiomatik der Geometrie, die sich auf die Begriffe der Parallelen, der Senkrechten und der Entfernung gründet, aber in einer Form, die in natürlicher Weise und schnell zur algebraischen Struktur der Ebene und des Raumes führt. Mehrere Kapitel sind sodann der Klärung von Fragen gewidmet, die oft als dornen reich angesehen werden; sie betreffen die Bewegungen, die Winkel und das Win kelmaß, die Orientierung. Dieses Buch verdankt viel den Diskussionen mit zahlreichen französischen und ausländischen Mathematikern und Lehrern. Ich danke insbesondere Herrn Andre Revuz, dessen kritische Bemerkungen und dessen Anregungen mir sehr nützlich gewesen sind. Gustave Choquet Vorwort zur deutschen Übersetzung In dem vorliegenden Werk hat der Verfasser, Professor an der Faculte des Sciences in Paris, seine jahrelangen Bemühungen um einen passenden einfachen axiomatischen Aufbau der Schulgeometrie zusammengetragen.
Sommario
I. Inzidenz- und Ordnungsaxiome.- A. Geraden und Parallelen.- B. Ordnungsaxiome.- Übungen zum Kapitel I.- II. Axiome der affinen Struktur.- A. Affine Struktur der Geraden von ?.- B. Struktur der additiven Gruppe von (?, 0).- C. Translationen der Ebene ?.- D. Vektorraum-Struktur von (?, 0).- E. Dilatationen der Ebene.- F. Ergänzungen.- Übungen zum Kapitel II.- III. Axiome der metrischen Struktur.- A. Senkrechte.- B. Das Skalarprodukt.- C. Elementare metrische Eigenschaften.- IV. Isometrien. Ähnlichkeitsbildungen. Spiegelungen einer Menge.- A. Isometrien.- B. Ähnlichkeitsabbildungen.- C. Stabile Mengen in bezug auf eine Gruppe von Transformationen.- Übungen zum Kapitel IV.- V. Die Winkel.- A. Die Gruppe der Winkel.- B. Winkel und Ähnlichkeitsabbildungen.- VI. Orientierung.- 66. Schwierigkeiten des Begriffs.- 67. Orientierung von Teilmengen von ?.- 68. Andere geometrische Gebilde.- 69. Paare von Halbgeraden.- 70. Orientierung und stetige Deformation.- 71. Die Bewegungen.- Übungen zum Kapitel VI.- VII. Trigonometrie.- A. Elementare Trigonometrie.- B. Winkelmaß.- Übungen zum Kapitel VII.- VIII. Der Kreis.- 79. Definition und Symmetrien.- 80. Ähnliche Abbildung.- 81. Konvexität der Kreisscheibe.- 82. Schnitt Kreis-Gerade.- 83. Tangente an einen Kreis.- 84. Schnitt zweier Kreise.- 85. Kreisgleichung.- 86. Einige kennzeichnende Eigenschaften.- 87. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis.- Übungen zum Kapitel VIII.- IX. Der Raum.- A. Die Axiome.- B. Affinstruktur des Raumes.- C. Metrische Struktur des Raumes.- Übungen zum Kapitel IX.- X. Anhang.- A. Axiomatik auf metrischer Basis.- B. Axiomatik der nichteuklidischen Geometrie.- C. Axiomatik der "Anfangsgeometrie".- D. Schema einer anderen Winkeldefinition.- E. Literatur.
