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Im Frühjahr 1976 hatte ich Gelegenheit, am "Ce/ure for Advanced Study in M athematics" in Chandigarh eine Vorlesung über Siegelsehe Modulfunktionen zu halten. Diese Vorlesung wurde von Dr. Sunder LaI ausgearbeitet. Das erste Kapitel dieses Buches stützt sich weitge hend auf diese Ausarbeitung. Der Inhalt des zweiten Kapitels - die Satakekompaktifizierun- war das Thema einer gemeinsamen Arbc-itsgemeinschaft im -Jahre 1977 der mathematischen Institute Heidelberg und Mannheim unter Leitung von Prof. R. Kiehl. Das dritte Kapitel war wohl bislang am schlechtesten zugänglich. Ein Höhepunkt dieses Kapitels ist der Satz von Dr. Y. Tai, daß der Körper der Siegelsehen Modulfunktionen n-ten Grades fast immer von allgemeinem Typ ist. Tais Beweis für diesen Satz teilte mir Prof. D. Mumford während meines Gastaufenthaltes an der Harvard-Uni versität (1981) mit. Das letzte Kapitel über Heckeoperatoren wurde angeregt durch einen Gastavfenthalt von Prof. A. Andrianov am Heidelberger mathe matischen Institut im Jahre 1980. Den genannten Kollegen gilt mein herzlicher Dank; ebenso den Herren R. Endres und Dr. R. Weissauer, welche eine Fülle von Feh lern in dem ursprünglichen Manuskript aufgespürt haben und schließ lich Fräulein von Stiernberg, welche ein schlecht leserliches Manu skript in Maschinenschrift übertragen hat.
Sommario
InhaltsÜbersicht.- Liste häufig verwendeter Bezeichnungen.- I. Die klassische Theorie der Siegeischen Modulformen.-
0. Thetareihen zu positiv definiteli quadratischen Formen.-
1. Die symplektische Gruppe als Transformationsgruppe.-
2. Die Minkowskische Reduktionstheorie. Der Siegeische Fundamentalbereich.-
3. Modulformen n-ten Grades.-
4. Poincaré-Reihen.-
5. Eisensteinreihen.- II. Die Satakekompaktifizierung.-
0. Übersicht Über die Methode und Resultate.-
1. Endlichkeitseigenschaften fÜr die Bereiche Minkowski- bzw. Siegel-reduzierter Matrizen.-
2. Die Satakekompaktifizierung.-
3. Fortsetzung komplexer Räume.-
4. Die Analytifizierung der Satakekompaktifizierung.-
5. Die Algebraisierung der Satakekompaktifizierung.-
6. Die Theorie der Modulformen fÜr Untergruppen von endlichem Index in der Siegeischen Modulgruppe.- III. Der Körper der Modulfunktionen.-
1. Modulformen ersten und zweiten Grades.-
2. Reguläre iV-Formen des Körpers der Modulfunktionen.-
3. Konstruktion von Spitzenformen kleinen Gewichts (Thetareihen mit harmonischen Koeffizienten).-
4. F-invariante Tensoren auf der Siegeischen Halbebene.-
5. Reguläre Tensoren des Körpers der Modulfunktionen.-
6. Konstruktion holomorpher alternierender Differentialformen vom Grade N - 1 mit Hilfe singulärer Modulformen.- IV. Heckeoperatoren.-
1. Die Heckealgebra.-
2. Die Struktur der Heckealgebra im Falle der allgemeinen linearen Gruppe.-
3. Die Struktur der Heckealgebra im Falle der symplektischen Gruppe.-
4. Das Vertauschungsgesetz zwischen Heckeoperatoren und Siegelschem ?-Operator.-
5. Die Wirkung von Heckeoperatoren auf Thetareihen.- 6. Der Siegeische Hauptsatz.-
7. Die Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihen.- Anhänge.- AI. Hermitesche Formen.- AII. Transformationsverhalten von Thetareihen unter Modulsubstitutionen.- AIII. Darstellungen von Modulformen als rationale Funktionen von Eisensteinreihen bzw. Thetareihen.- AIV. Singuläre Gewichte.- AV. Erzeugendensysteme fÜr die lineare und symplektische Gruppe Über einem Euklidschen Ring R.- AVI. Grundlegende Eigenschaften komplexer Räume.- Literatur.
