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Inverse Probleme treten bei der Bestimmung der ein System beschreibenden Parame ter aus Beobachtungen des Systems auf. Ein Beispiel hierfiir ist die Identifizierung einer " Black Box " aus Input und Output. 1st der Input die Intensitiit eines ROntgenstrah les und der Output die Intensitiit des Strahles nach Durchlaufen eines Korpers, so ka. nn man aus vielen Strahlen, etwa einer halben Million, in der Computer - Tomographie die Dichte des durchlaufenen Korpergewebes berechnen. Von der physikalischen Annahme hiingt das mathematische Modell, also die zu behandelnde Gleichung, abo All diesen inver sen Problemen gemein ist, daB die Daten wegen der unvermeidbaren MeBfehler nie exakt gegeben sind. Leider auch gemein ist diesen Problemen, daB die Datenfehler in der LOsung verstiirkt werden. Die von Hadamard eingefiihrte Bezeichnung " schlecht gestellte Pro bleme " ist irrefiihrend, die mathematische Beschreibung eines realen inversen Problems spiegelt natiirlich auch die praktisch vorhandene Instabilitiit wider. Die reizvolle Aufgabe ist nun, eine Niiherungslosung, moglicherweise unter Zuhilfe nahme zusiitzlicher Information, so zu bestimmen, daB die Datenfehler sich nicht iiber ein unvermeidbares MaB hinaus verstiirken. Das Titelbild zeigt eine glatte Kurve, wel che die exakte LOsung eines ungestorten schlecht gestellten Problems darstellt. Die wild oszillierende Funktion ergibt sich bei ( fast ) " naiver " LOsung ohne Beriicksichtigung der Schlechtgestelltheit. Abbildung 5. 1. 1 zeigt die wirklich " naive" Losung, die keine erkennbare Darstellung der anderen Funktionen bei gleichem MaBstab gestattet.
Sommario
1 Inverse Probleme.- 1.1 Inverse Problem und Regularisierung.- 1.2 Anwendungsbeispiele.- 1.3 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 2 Mathematische Hilfsmittel.- 2.1 Spektraldarstellung kompakter Operatoren.- 2.2 Operatorsumme und Ungleichungen.- 2.3 Normen.- 2.4 Fourier - Transformation und Sobolev - Räume.- 2.5 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 3 Stabilisierung schlecht gestellter Probleme.- 3.1 Verallgemeinerte Inverse.- 3.2 Klassifizierung schlecht gestellter Probleme.- 3.3 Regularisierung schlecht gestellter Probleme.- 3.4 Optimale Regulariserungsverfahren.- 3.5 Wahl des Regularisierungsparameters.- 3.6 Stabilisierung durch Änderung des Problems.- 3.7 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 4 Regularisierungsverfahren.- 4.1 Bandpaß- Filter und abgeschnittene Singulärwertzerlegung.- 4.2 Tikhonov - Phillips Regularisierung.- 4.3 Iterationsverfahren.- 4.4 Stochastische Methoden.- 4.5 Projektionsverfahren.- 4.6 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 5 Numerische Realisierung.- 5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.- 5.2 Singulärwertzerlegung.- 5.3 Tikhonov - Phillips Regularisierung.- 5.4 Iterationsverfahren.- 5.4 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 6 Computer - Tomographie.- 6.1 Die Radon - Transformation.- 6.2 Die Schlechtgestelltheit der Radon - Transformation.- 6.3 Rekonstruktionsalgorithmen.- 6.4 Bemerkungen und Literaturhinweise.- Literatur.
