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Excerpt from Zahlentheorie, Vol. 2
Die Methode, von der wir sogleich verschiedene Anwendungen geben werden, verdient eine besondere Beachtung, insofern sie bis heute die einzige ist, vermittelst welcher man gewisse negative Sätze uber die Potenzen der Zahlen hat beweisen können. Diese Methode geht darauf aus zu zeigen, dafs, wenn die Eigenschaft, deren Bestehen verneint wird, bei grefsen Zahlen stattfände, dieselbe bei den kleineren Zahlen ebenfalls gelten würde. Ist dieser erste Punkt festgestellt, so ist der Satz bewiesen; denn wenn das Gegenteil stattfinden sollte, so müfste eine Reihe von abnehmenden ganzen Zahlen ins Unendliche verlängert werden können, was einen Widerspruch enthält. Fermat hat zuerst diese Methode in einer seiner Anmerkungen zum Diephant angegeben, in der er beweist, dafs der Flächeninhalt eines in ganzen Zahlen ausgedrückten rechtwinkligen Dreiecks*) keiner Quadratzahl gleich sein kann. Euler hat sodann weitere Anwendungen von dieser Methode und eine sehr klare Auseinandersetzung derselben gegeben im zweiten Teile seiner "elemente der Algebra.
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