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Excerpt from Theorie der Doppeltperiodischen Functionen Einer Veränderlichen Grösse, Vol. 2
Der zweite Band meines Werkes über doppeltperiodische F unc tionen, welcher hiermit der Oeffentlichkeit übergeben wird, zerfällt in drei Theile, von denen der erste die Anfänge der Transformations theorie auf der Grundlage von Additionstheoremen zwischen Theta functionen mit verschiedenen Moduln, der zweite die Entwickelung der doppeltperiodischen Functionen, insbesondere zweiter und dritter Art, in trigonometrische Reihen, der dritte endlich die mannigfaltigen Di¿'erentialgleichungen behandelt, denen die Functionen zweiter Art Genüge leisten. Diese Theorien sind wohl bisher in keinem Werk vereinigt worden. Ursprünglich war es meine Absicht, dieselben allein mit denjenigen zu veröffentlichen, die sich im vierten Abschnitt und einigen Paragraphen der vorangehenden Abschnitte des ersten Bandes befinden. Durch die Natur des behandelten Gegenstandes sah ich mich aber veranlasst, von meinem ursprünglichen Plane abzugehen und die schon vielfach behandelten elliptischen Functionen mit in den Kreis der Betrachtungen hineinzuziehen. Der Zusammenhang zwischen den gewöhnlichen elliptischen Functionen und den Functionen zweiter und dritter Art ist nämlich ein so enger, dass die gesonderte Betrachtung der letzteren eines natürlichen Rahmens, sowie eines einheitlichen Ge sicht3punktes entbehren würde und zu mannigfachen Uebelständen ge fiihrt hätte. Wie ich aber schon in der Vorrede zum ersten Bande bemerkt habe und nochmals ausdrücklich hervorheben möchte, ist es keineswegs meine Absicht gewesen, eine alles umfassende Theorie der elliptischen Functionen zu geben. Es sind im Wesentlichen nur diejenigen allgemeinen und bekannten Untersuchungen hineingezogen worden, welche die Grundlage und die Gesichtspunkte für das ganze Werk abgeben und zum Verständniss der Theorie der Functionen zweiter und dritter Art nothwendig sind diese letzteren bilden den eigentlichen Schwerpunkt meines Werkes.
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