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Questo libro - primo di due volumi - presenta oltre 250 esercizi scelti di algebra ricavati dai compiti d'esame dei corsi di Aritmetica tenuti dagli autori all'Università di Pisa. Ogni esercizio viene presentato con una o più soluzioni accuratamente redatte con linguaggio e notazioni uniformi. Caratteristica distintiva del libro è che gli esercizi proposti sono tutti diversi uno dall'altro e le soluzioni richiedono sempre una piccola idea originale; ciò rende il libro unico nel genere. Gli argomenti di questo primo volume sono: principio d'induzione, combinatoria, congruenze, gruppi abeliani, anelli commutativi, polinomi, estensioni di campi, campi finiti. Il libro contiene inoltre una dettagliata sezione di richiami teorici e può essere usato come libro di riferimento per lo studio. Una serie di esercizi preliminari introduce le tecniche principali da usare per confrontarsi con i testi d'esame proposti. Il volume è rivolto a tutti gli studenti del primo anno dei corsi di laure
a in Matematica e Informatica.
List of contents
1 Richiami di teoria.- 1.1 Nozioni fondamentali: Gli insiemi.- Le applicazioni.- Le relazioni.- Il principio di induzione.- Le operazioni.- I numeri.- 1.2 Combinatoria.- 1.3 I numeri interi: La divisibilità tra interi.- Le congruenze.- L'aritmetica modulare.- 1.4 I gruppi: Definizione e prime proprietà. - Sottogruppi.- Prodotto di sottogruppi.- Classi laterali di un sottogruppo.- Sottogruppi normali.- Il gruppo simmetrico.- Omomorfismi di gruppi.- Prodotto diretto di gruppi.- 1.5 Gli anelli: Definizione e prime proprietà.- Sottoanelli, ideali e quozienti.- Anelli di polinomi.- Divisibilità tra polinomi.- Fattorizzazione di polinomi.- Quozienti di anelli di polinomi.- 1.6 I campi: Caratteristica di un campo.- Gruppo moltiplicativo.- Estensioni di campi.- Campo di spezzamento.- Campi.- 1.7 Esercizi Preliminari.- 2 Esercizi: 2.1 Successioni.- 2.2 Combinatoria.- 2.3 Congruenze.- 2.4 Gruppi.-2.5 Anelli e Campi.- 3 Soluzioni: 3.1 Successioni.- 3.2 Combinatoria.- 3.3 Congruenze.- 3.4 Gruppi.- 3.5 Anelli e Campi.
About the author
Rocco Chirivì obtained a degree in Mathematics from the University of Pisa in 1995; he earned his Diploma di Licenza from the Scuola Normale of Pisa in 1997, followed by his Diploma di Perfezionamento in 2000. He was a researcher in Algebra at the University of Pisa from 2002 to 2012 and has since been working as a researcher at the University of Salento. His main research focus is Representation Theory, at the intersection between Algebra, Combinatorics and the geometry of varieties related to group actions.
Ilaria Del Corso attended the Corso di Perfezionamento at the Scuola Normale from 1990 to 1992 and has been an associate professor in Algebra at the University of Pisa since 2001. She has extensive teaching experience in Algebra and Algebraic Number Theory. Her research in Algebraic Number Theory concerns number fields and local fields, focusing in particular on the study of ramification and on the Galois module structure of certain field extensions.
Roberto Dvornicich, having been a student at the Scuola Normale of Pisa, obtained a degree in Mathematics from the University of Pisa in 1972 and later attended the Corso di Perfezionamento at the Scuola Normale. He has been a full professor in Algebra at the University of Pisa since 1990. His main research interests lie within Algebraic Number Theory (arithmetic properties of number fields and local fields) and in Diophantine Analysis (algebraic equations over the integers or some number field).
Summary
Questo libro – primo di due volumi – presenta oltre 250 esercizi scelti di algebra ricavati dai compiti d'esame dei corsi di Aritmetica tenuti dagli autori all'Università di Pisa. Ogni esercizio viene presentato con una o più soluzioni accuratamente redatte con linguaggio e notazioni uniformi. Caratteristica distintiva del libro è che gli esercizi proposti sono tutti diversi uno dall'altro e le soluzioni richiedono sempre una piccola idea originale; ciò rende il libro unico nel genere. Gli argomenti di questo primo volume sono: principio d'induzione, combinatoria, congruenze, gruppi abeliani, anelli commutativi, polinomi, estensioni di campi, campi finiti. Il libro contiene inoltre una dettagliata sezione di richiami teorici e può essere usato come libro di riferimento per lo studio. Una serie di esercizi preliminari introduce le tecniche principali da usare per confrontarsi con i testi d'esame proposti. Il volume è rivolto a tutti gli studenti del primo anno dei corsi di laurea inMatematica e Informatica.
