Grundlagen der Mehrgittermethode - Einführung in Standardverfahren

Im Jahre 1985 begann ich meine Arbeiten zur Simulation der Herstellungsprozesse von Halbleiterbauelementen mit Hilfe von Mehrgitterverfahren. Dabei handelte es sich um eine praxisnahe Anwendung dieser (damals noch recht neuen) Methode zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Zu dieser Zeit erschienen -oder waren gerade in Vorbereitung- einige bedeutende Monographien zum Thema Mehrgitterverfahren. Besonders zu erwähnen sind die drei meines Erachtens als Mehrgitterklassiker zu bezeichnenden Publikationen: der sogenannte Guide [6] von Brandt, die Multigrid Methods and Applications [14] von Hackbusch und die Fundamentals [36] von Stüben und Trottenberg.

Stüben und Trottenberg beklagen in [36] die mangelnde Akzeptanz und zum Teil sogar Vorurteile gegen Mehrgitterverfahren - insbesondere dann, wenn komplexe Anwendungen gelöst werden sollen. Vor dem Hintergrund der obengenannten Publikationen erhebt sich die Frage, warum dies so war.

Im universitären Bereich und in Forschungseinrichtungen waren Mehrgitterverfahren bekannt und wurden angewendet, im industriellen Umfeld waren Mehrgitterverfahren weniger bekannt, geschweige denn akzeptiert. Akzeptanz bedeutet dabei nicht eine prototypische, sondern eine professionelle Nutzung mit großem Anwenderkreis zur Lösung komplexer technischer Probleme. Ein derartiger Einsatz verlangt nicht nur schnelle, sondern ganz besonders robuste Algorithmen hinsichtlich der möglichen Parametervariation des Problems. Ein Grund für den Mangel an professioneller Mehrgittersoftware lag darin, daß die Forschung an Mehrgittermethoden und die Problemlösung in Anwendungsdisziplinen isolierte Bereiche waren. Für die Praxis genügt aber die Lösung von Modellproblemen nicht. Außerdem schreckt der enorme Freiheitsgrad bei der Auswahl algorithmischer Komponenten ab. Aufgrund des Tagesgeschäfts sind viele Ingenieure an schnellen Lösungen interessiert, aber zeitlich nicht in der Lage oder bereit, sich auch noch mit Feinheiten eines Lösungsalgorithmus zu beschäftigen. Daher kommt es, dass selbst bei modernen Simulationstools, die das Mehrgitterverfahren als Lösungsverfahren anbieten (z. B. [8]), dieses Verfahren selten genutzt und noch seltener effizient genutzt wird.

Diesem Übel ist nur von der Wurzel her beizukommen. Ingenieurstudenten, Studenten der Mathematik, Informatik, Physik und anderen Anwendungsgebieten sowie alle mit Interesse an numerischen Fragestellungen sollten auf einfache Art und Weise an die Mehrgittermethodik herangeführt werden. Darauf zielt dieses Buch ab. Es entwickelte sich aus einem Skript zu einer Vorlesungsreihe Algorithmen an der Fachhochschule Köln. Mit entsprechenden Erweiterungen dient es den deutschsprachigen Teilnehmern meines seit mehr als zehn Jahren jährlich stattfindenden Mehrgitterkurses als praktische und überschaubare Einführung.

Die Basis der Darstellungen und Beispiele wurde mit den Kapiteln zwei und vier des aus den Dissertationen von Slobodan Mijalkovic und mir entstandenen Buches Multigrid Methods for Process Simulation [20] gelegt. Dieses Buch erschien 1993 in der von Professor Dr. Siegfried Selberherr (TU Wien) aufgelegten Reihe Computational Microelectronics des Springer Verlags, Wien. Die direkt diesem Buch entnommenen Abbildungen und Tabellen sind in den jeweiligen Bild- und Tabellenunterschriften mit Quelle: [20] gekennzeichnet. Dem Springer Verlag möchte ich an dieser Stelle dafür danken, dass er der Verwendung dieses Materials zugestimmt hat. Notation und prinzipielle Vorgehensweise orientieren sich ebenfalls an der genannten Quelle und entsprechen der in der Mehrgittergruppe um Professor Dr. Ulrich Trottenberg über Jahre hinweg entwickelten formalen Darstellung von Mehrgitteralgorithmen.

Durch die angebotenen Inhalte soll neben fundierten Kenntnissen insbesondere die Einsicht wachsen, daß viele der Standardmehrgitterkomponenten auch für komplexe Anwendungen hervorragende Ergebnisse liefern und selbst nicht-standard Ansätze erfolgreich mit der Mehrgitteridee kombinierbar sind.

Dazu gibt diese Schrift neben der Darstellung der Prinzipien auch eine Beschreibung all der Komponenten, die für effiziente Mehrgitterverfahren und zur theoretischen Analyse der Verfahren erforderlich sind. Um den Rahmen einer Einführung nicht zu sprengen, wird bewußt nicht auf algebraische Mehrgitterverfahren und die aus vielfacher Sicht spannende Parallelisierung von Mehrgitterverfahren eingegangen. Dieses Umfeld und die praktische Erfahrung der Mehrgittergruppe des Instituts für Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen wird in [37] zusammengefasst.

Im Rahmen der erwähnten Kurse und im Rahmen meiner Lehrtätigkeit entwickelten sich diverse Materialien, die zu Lehr- und Lernzwecken in der Datei v04_strfasfmg.zip zusammengefasst sind, und von http://fb03.h-bonn-rhein-sieg.de/mehrgitter_beispiel/ heruntergeladen werden können. Darin spiegelt sich auch eine historische Entwicklung. Zu den ausgesprochenen Zielen der Kurse gehört von Anfang an, dass die Teilnehmer am Ende des Kurses ein lauffähiges Mehrgitterprogramm besitzen. Im Rahmen der Vorbereitungen gehörte die eigene Lösung dazu. So ist das im Anhang A beschriebene Fortran 77 Programm entstanden. Dem derzeitigen Arbeitsumfeld angepasst, entwickelte sich aus dem Fortran 77 Programm eine Matlab 1 -Umgebung, die zum experimentellen Umgang mit einem Mehrgitterprogramm geeignet ist. Die aktuelle Version 04 mit allen erforderlichen Dateien wird im Anhang B besprochen und ist über obengenannte URL verfügbar.

Eine Fehlerfreiheit des zur Verfügung gestellten Matlab-Programms kann nicht garantiert werden. So sind technische Voraussetzungen für lokale Verfeinerungen geschaffen, die Entwicklung für einen robusten und sicheren Einsatz aber noch nicht abgeschlossen. Irgendwelche Haftungsansprüche aufgrund der Benutzung der Software sind ausgeschlossen. Eine Weiterentwicklung auch in Form gemeinsamer Projekte ist in meinem Sinne.

Product details

• Authors: Wolfgang Joppich
• Publisher: Shaker Verlag
• Languages: German
• Product format: Paperback / Softback
• Released: 31.05.2015
• EAN: 9783832299637
• ISBN: 978-3-8322-9963-7
• No. of pages: 212
• Dimensions: 172 mm x 238 mm x 20 mm
• Weight: 550 g
• Illustrations: 11 farbige Abbildungen
• Series: Berichte aus der Mathematik
• Subject: Natural sciences, medicine, IT, technology > Mathematics