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L'arithmétique classique existe depuis l'Antiquité, et s'est développée tout au
long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte. Gauss a beaucoup
développé l'arithmétique modulaire notamment avec les notions de congruences,
de résidu quadratique, etc, et a démontré de nombreuses propriétés dans ce
domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline s'est développée sans
aucune application concrète. La seconde moitié du XXe siècle a elle été caractérisée par
l'arrivée de nombreuses applications dont la cryptographie et, dans une moindre
mesure, les techniques de codes correcteurs d'erreurs qui sont
maintenant très utilisées en transmission. Cette arithmétique s'est immiscée
un peu sournoisement dans notre vie courante : numéro de sécurité sociale, transmissions
sécurisées par Internet pour les transferts d'argent, et bien d'autres choses
encore.
Divers problèmes amusants se traitent assez facilement avec ces techniques.
L'arithmétique modulaire tome III est également utilisée pour démontrer des
propriétés de l'arithmétique classique, ce qui explique les liens entre ces trois
tomes complémentaires.
Ce tome III présente de nombreuses notions : les congruences, les polynômes en
arithmétique modulaire, les résidus quadratiques, cubiques et biquadratiques, les
symboles de Legendre et de Jacobi, les racines primitives, le logarithme discret,
les équations en arithmétique modulaire, les grands nombres premiers et pseudo-premiers
et une ouverture vers la cryptographie.
Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler, et
même parfois rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en grande
partie par la quasi-absence d'exemples et d'exercices. Pour ces raisons, l'auteur a
délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique avec de nombreux
exemples et exercices corrigés quitte à omettre certaines démonstrations trop longues
ou trop difficiles.
