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VIII Gegenstand erweist sich vor allem bei der Verwendung geeigneter bewichteter Maximum-Normen. Ein erstes Beispiel dafUr findet sich in der Arbeit von Morgenstern (1952); die in der Literatur vielfach gefundenen Hinweise auf spiitere Autoren sind historisch nicht ge rechtfertigt. Neu dtirfte wohl die Verwendung einer solchen Norm beim Beweis des Existenzsatzes fUr lineare Systeme im Komplexen in
21 sein. Dadurch werden erstens kompliziertere Sachverhalte aus der Funktionentheorie umgangen (analytische Fortsetzung und Monodromiesatz werden entbehrlich). Zweitens ergeben sich, sozu sagen nebenbei, die fUr die Behandlung der singuliiren Stellen wich tigen Wachstumseigenschaften der LOsungen. DaB sich die Siitze tiber die stetige Abhiingigkeit von Anfangswerten und Parametem und tiber die Holomorphie beziiglich komplexer Parameter sofort aus dem Fixpunktsatz ableiten lassen, ist noch wenig bekannt Bei der Differenzierbarkeit nach reellen Parametem wird eine Er weiterung des Fixpunktsatzes benotigt (
13). Bei der Behandlung der linearen Systeme mit schwach singuliiren Stellen werden die entscheidenden Konvergenzbeweise ebenfalls durch Zuriickfdhrung auf das Kontraktionsprinzip in einem ge eigneten Banach-Raum gefdhrt. Diese neue Beweismethode wurde fUr den Fall holomorpher Losungen, also bei Potenzreihenentwick lungen, von Harris, Sibuya und Weinberg (1969) entdeckt. Jedoch kann auch der logarithmische Fall auf diese Weise behandelt werden. Wenn wir diesen Weg anstelle der klassischen Majorantenmethode gewiihlt haben, so nicht nur, um ein Prinzip unter allen Umstiinden durchzuhalten.
List of contents
I. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.-
1 Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung. Elementar integrierbare Fälle.-
2 Die lineare Differentialgleichung. Verwandte Differentialgleichungen.-
3 Differentialgleichungen für Kurvenscharen. Exakte Differentialgleichungen.-
4 Implizite Differentialgleichungen erster Ordnung.-
5 Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis.-
6 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz.-
7 Der Existenzsatz von Peano.-
8 Differentialgleichungen im Komplexen. Potenzreihenentwicklung.-
9 Ober- und Unterfunktionen. Maximal- und Minimalintegrale.- II. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung.-
10 Das Anfangswertproblem für ein System erster Ordnung.-
11 Das Anfangswertproblem für Differentialgleichungen n-ter Ordnung. Elementar-integrierbare Typen.-
12 Stetige Abhängigkeit der Lösungen.-
13 Abhängigkeit von Anfangswerten und Parametern.- III. Lineare Differentialgleichungen.-
14 Lineare Systeme.-
15 Homogene lineare Systeme.-
16 Inhomogene Systeme.-
17 Systeme mit konstanten Koeffizienten.-
18 Matrizenfunktionen. Inhomogene Systeme.-
19 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.-
20 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- IV. Lineare Systeme im Komplexen.-
21 Homogene lineare Systeme im regulären Fall.-
22 Isolierte Singularitäten.-
23 Schwach singuläre Stellen. Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typ.-
24 Reihenentwicklungen von Lösungen.-
25 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- V. Rand- und Eigenwertprobleme. Stabilität.-
26 Randwertaufgaben.-
27 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem.-
28 Kompakte selbstadjungierte Operatoren im Hilbert-Raum. Der Entwicklungssatz.-
29 Asymptotisches Verhalten. Stabilität.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.- Bezeichnungen.
