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Das Buch entstand aus einem Vorlesungsmanuskript, das der Autor an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel fUr Studenten der Mathematik gelesen hat. Es versucht, den heutigen Stand der iterativen und damit verwandten Verfahren zu beschreiben, ohne allerdings auf zu spezielle Gebiete einzugehen. Mit der Beschränkung auf iterative Ver fahren ist bereits ein Auswahl getroffen: Verschiedene schnelle, direkte Verfahren für spezielle Aufgaben wie auch optimierte Versionen der Gaußschen Eliminationsmethode bzw. des Cholesky-Verfahrens oder die Bandbreitenreduktion werden nicht berUcksichtigt. Obwohl das besondere Interesse den modernen, effektiven Verfahren (konjugierte Gradienten, Mehrgitterverfahren) gilt, wird auch Wert auf die Theorie der klassischen Iterationsverfahren gelegt. Andererseits werden einige effektive Algorithmen nicht oder nur am Rande berUck sichtigt, wenn sie zu eng mit Diskretisierungstechniken verknUpft sind. Die iterative Behandlung nichtlinearer Problemen oder Eigenwertauf gaben bleibt völlig unerwähnt. Ein Kapitel Uber die in vielen Bereichen auftretenden Sattelpunktprobleme (spezielle indefinite Aufgaben) wurde aus GrUnden des Buchumfanges nicht verwirklicht. Das Buch setzt keine speziellen Kenntnisse voraus, die Uber die Anfangsvorlesungen "Analysis" und "Lineare Algebra" hinausgingen. Die aus der Linearen Algebra benötigten Grundlagen sind noch einmal in Kapitel 2 dieses Buches zusammengestellt. Damit soll zum einen eine geschlossene Darstellung ermöglicht werden, zum anderen ist es notwendig, die aus der Linearen Algebra bekannten Sätze in die hier benötigte Formulierung zu bringen. Vom Umfang her eignet sich eine Auswahl des vorliegenden Stoffes fUr eine 4-stUndige Vorlesung nach dem Vordiplom. Eine Teilauswahl ist auch fUr die Vorlesung "Numerische Mathemati 11" empfehlenswert.
List of contents
Notationen.- 1 Einleitung.- 1.1 Historische Bemerkungen zu Iterationsverfahren.- 1.2 Das Modellproblem (Poisson-Gleichune).- 1.3 Aufwand ft direkte Lösung des Gleichungssystems.- 1.4 Beispiele für iterative Verfahren.- 2 Grundlagen aus der Linearen Algebra.- 2.1 Bezeichnungen für Vektoren und Matrizen.- 2.2 Lineare Gleichungssysteme.- 2.3 Permutationsmatrizen.- 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2.5 Blockvektoren, Blockmatrizen.- 2.6 Normen.- 2.7 Skalarprodukt.- 2.8 Normalformen.- 2.9 Zusammenhang zwischen Normen und Spektralradius.- 2.10 Positiv definite Matrizen.- 3 Allgemeines zu iterativen Verfahren.- 3.1 Allgemeine Aussagen zur Konvergenz.- 3.2 Lineare Iterationsverfahren.- 3.3 Effektivität von Iterationsverfahren.- 3.4 Test iterativer Verfahren.- 3.5 Erläuterungen zu den Pascal-Prozeduren.- 4 Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren im positiv definiten Fall.- 4.1 Eigenwertanalyse des Modellproblems.- 4.2 Konstruktion der Iterationsverfahren.- 4.3 Gedämpfte bzw extrapolierte Iterationsverfahren.- 4.4 Konvergenzuntersuchung.- 4.5 Blockversionen.- 4.6 Aufwand der Verfahren.- 4.7 Konvergenzraten im Falle des Modellproblems.- 4.8 Symmetrische Verfahren.- 5. Analyse im 2-zyklischen Fall.- 5.1 Die 2-zyklischen Matrizen.- 5.2 Vorbereitende Lemmata.- 5.3 Analyse der Richardson-Iteration.- 5.4 Analyse des Jacobi-Verfahrens.- 5.5 Analyse der Gauß-Seidel-Iteration.- 5.6 Analyse des SOR-Verfahrens.- 5.7 Anwendung auf das Modellproblem.- 5.8 Ergänzungen.- 6 Analyse für M-Matrizen.- 6.1 Positive Matrizen.- 6.2 Graph einer Matrix und irreduzible Matrizen.- 6.3 Perron-Frobenius-Theorie positiver Matrizen.- 6.4 M-Matrizen.- 6.5 Reguläre Aufspaltuneen.- 6.6 Anwendungen.- 7 Semiiterative Verfahren.- 7.1 Erste Formulierung.- 7.2 Zweite Formulierung semiiterativerVerfahren.- 7.3 Ontinale Pn1vnnn.- 7.4 Anwendung auf bekannte Iterationen.- 7.5 Verfahren der alternierenden Richtungen (ADI).- 8 Transformationen, sekundäre Iterationen, unvollständige Dreieckszerlegungen.- 8.1 Erzeugung von Iterationen durch Transformatinnen.- 8.2 Die Kaczmarz-Iteration.- 8.3 Präkonditionierung.- 8.4 Sekundäre Iterationen.- 8.5 Unvollständige Dreieckszerlegungen.- 8.6 Ein überflüssiger Begriff: Zeitschrittverfahren.- 9 Verfahren der konjugierten Gradienten.- 9.1 Lineare Gleichungssysteme als Minimierungsaufgabe.- 9.2 Gradientenverfahren.- 9.3 Methode der konjugierten Richtungen.- 9.4 Methode der konjugierten Gradienten.- 9.5 Verallgemeinerungen.- 10 Mehrgitteriterationen.- 10.1 Einfihrung.- 10.2 Das Zweigitterverfahren.- 10.3 Analyse für ein eindimensionales Beispiel.- 10.4 Mehrgitteriteration.- 10.5 Geschachtelte Iteration.- 10.6 Konvergenzanalyse.- 10.7 Symmetrische Mehrgitterverfahren.- 10.8 Kombination von Mehrgitter- mit semiiterativen Verfahren.- 10.9 Anmerkungen.- 11 Gebietszerlegungsmethoden.- 11.1 Allgemeines.- 11.2 Formulierung der Gebietszerlegungsmethode.- 11.3 Eigenschaften der additiven Schwarz-Iteration.- 11.4 Analyse der multiplikativen Schwarz-Iteration.- 11.5 Beispiele.- 11.6 Mehrgitterverfahren als Unterraumzerlegung.- 11.7 Schur-Komplement-Methoden.- Stichwortverzeichnis.- Verzeichnis der Pascal-Namen.
