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Entwicklungsgesetzen der Mathematik an einem ganz konkreten Beispiel nachzuspüren ist der Sinn dieses Buches, das dem 200. Geburtstag von CARL FRIEDRICH GAUSS gewidmet ist. Das Beispiel ist das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste, das GAUSS - wie schon einige seiner Vorgänger - aus einem großen Zahlenmaterial vermutungsweise ablas, aber als erster gleichsam mit Gewalt durch vollständige Induktion verifizierte, ohne damit dem "Wesen" dieser eigenartigen Gesetzmäßigkeit näherzukommen. Die nächsten Stufen der Entwicklung türmte GAUSS über- und nebeneinander mit der Absicht, durch möglichst verschieden artige Beweismethoden (Gaußsches Lemma, Einordnung in die Gaußsche Theorie der quadratischen Formen und der Kreisteilung), Erweiterung des Themas (kubische und biquadratische Reste) und des Zahlenbereiches (ganze GauBsche Zahlen) den Weg zu allgemeinen Gesetzmäßigkeiten zu eröffnen. Die Arbeit vieler großer Mathematiker nach GAUSS war nötig, um den Weg bis zu einem Gipfel zu verfolgen: Als allgemeiner Rahmen bildete sich die algebraische Zahlentheorie heraus und darin die Klassenkörpertheorie, die 1927 mit ARTINS allgemeinem Reziprozitätsgesetz ihren Hohepunkt erreichte. Damit war die Gaußsche Vermutung bestätigt, da das quadratische Reziprozitätsgesetz jetzt nur noch als besonders einfacher Spezialfall des Artinschen Reziprozitätsgesetzes erscheint. 1m vollen Umfang konnte diese etwa 130jahrige Entwicklung in diesem Buch natürlich nicht dargestellt werden, um so ausführlicher dafür aber die einigermaßen elementaren ·Teile des Beitrages, den GAUSS als Weg bereiter der Reziprozitätsgesetze geleistet hat, womit er zum Pionier der modernen algebraischen Zahlentheorie geworden ist.
List of contents
Überblick.- Übersicht über die hier gegebenen Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.- Einführung. Quadratische Reste.- Thema. Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.- Das Legendre-Jacobi-Symbol.- Vollständige Induktion ohne den Gaußschen Existenzsatz.- Das Gaußsche Lemma.- Anzahl der negativen Minimalreste.- Gaußsches Lemma und Gitterpunkte.- Vorzeichen eines Produktes (Mit Gaußschem Lemma).- Vorzeichen eines Produktes (Mit Gaußschem Existenzsatz und Induktion).- Das Gauß-Symbol (Verallgemeinertes Gaußsches Lemma).- Permutationen.- Gaußsche Summen (mit Vorzeichenbestimmung).- Kreisteilung (Gaußsche Summen ohne Vorzeichenbestimmung).- Gaußsche Summen in endlichen Körpern.- Die quadratische Gleichung x 2 +x+ 1#x2212;( #x2212;1 q )q 4 =0 $${x^2} + x + frac{{1 - left( {frac{{ - 1}}{q}} right)q}}{4} = 0$$ in F p .- Faktorzerlegung gewisser Polynome in F p .
