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Ruled Varieties - An Introduction to Algebraic Differential Geometry

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Description

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Ruled varieties are unions of a family of linear spaces. They are objects of algebraic geometry as well as differential geometry, especially if the ruling is developable.

This book is an introduction to both aspects, the algebraic and differential one. Starting from very elementary facts, the necessary techniques are developed, especially concerning Grassmannians and fundamental forms in a version suitable for complex projective algebraic geometry. Finally, this leads to recent results on the classification of developable ruled varieties and facts about tangent and secant varieties.

Compared to many other topics of algebraic geometry, this is an area easily accessible to a graduate course.

List of contents

0 Review from Classical Differential and Projective Geometry.- 0.1 Developable Rulings.- 0.2 Vanishing Gauß Curvature.- 0.3 Hessian Matrices.- 0.4 Classification of Developable Surfaces in ?3.- 0.5 Developable Surfaces in ?3(?).- 1 Grassmannians.- 1.1 Preliminaries.- 1.2 Plücker Coordinates.- 1.3 Incidences and Duality.- 1.4 Tangents to Grassmannians.- 1.5 Curves in Grassmannians.- 2 Ruled Varieties.- 2.1 Incidence Varieties and Duality.- 2.2 Developable Varieties.- 2.3 The Gauß Map.- 2.4 The Second Fundamental Form.- 2.5 Gauß Defect and Dual Defect.- 3 Tangent and Secant Varieties.- 3.1 Zak's Theorems.- 3.2 Third and Higher Fundamental Forms.- 3.3 Tangent Varieties.- 3.4 The Dimension of the Secant Variety.- List of Symbols.

About the author

Prof. Dr. em. Gerd Fischer war viele Jahre Professor für Mathematik an der Universität Düsseldorf. Er ist jetzt Gastprofessor an der Fakultät für Mathematik der TU München. Er ist Autor zahlreicher erfolgreicher Fach-Lehrbücher.

Summary

Gegenstand des Buches ist der Zusammenhang zwischen globaler algebraischer Geometrie, projektiver Varietäten und lokaler Differentialgeometrie. Es beschäftigt sich genauer mit sogenannten "Geregelten Varietäten", die Vereinigung von linearen Räumen sind.

Das Buch ist entstanden aus Vorlesungen des ersten Autors für Studenten im Hauptstudium mit Grundkenntnissen in algebraischer Geometrie und führt an den Rand aktueller Forschung.

Das Thema ist klassisch und heute wieder aktuell geworden. Die Grundlagen, die in der Literatur nur schwer zu finden sind, werden hier sorgfältig aufgeschrieben und mit elementaren Methoden zugänglich gemacht. Die neueren Ergebnisse aus der Forschung sind im letzten Kapitel dargestellt.

Das Buch eignet sich z. B. gut für ein Seminar oder eine Vorlesung für Studierende, deren Schwerpunkt "Algebraische Geometrie" ist.

Foreword

Special Algebraic Varieties

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