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Im Mittelpunkt des Buches steht eine Konstruktion mit Hilfe von Geradenkonfigurationen in der komplex-projektiven Ebene, die überraschende Beziehungen zur elementaren Geometrie aufzeigt: Aus der berühmten Miyaoka-Yau-Ungleichung für die Chernschen Zahlen einer algebraischen Fläche folgen Aussagen über Geraden- und Punktkonfigurationen, für die kein direkter Beweis bekannt ist. Der Grenzfall der Ungleichung ist eine Proportionalitätsbeziehung, die genau die Flächen charakterisiert, deren universelle Überlagerung die Vollkugel im komplex-zweidimensionalen Raum ist. Die Methoden gestatten die Konstruktion von Flächen aus dieser besonders interessanten Klasse, für die bislang wenig explizite Beispiele bekannt waren.
List of contents
Einführung: Das Klassifikationsproblem. Ballquotienten und Proportionalitätssätze.- 1 Konstant verzweigte Überlagerungen und Chernsche Zahlen.- 1.1 Regulär konstant verzweigte Überlagerungen.- 1.2 Singulär konstant verzweigte Überlagerungen und Regularisierung.- 1.3 CHERNsche Zahlen und Proportionalitätsabweichung.- 1.4 Zwei Ballquotienten als verzweigte Überlagerungen ABELscher Flächen.- 1.5 Beispiel: Geradenkonfigurationen und die zugehörigen KUMMERschen Überlagerungen der projektiven Ebene.- 2 Geradenkonfigurationen: Kombinatorik und Beispiele.- 2.1 Geradenkonfigurationen in projektiven Ebenen.- 2.2 Reelle und simpliziale Konfigurationen und Platonische Körper.- 2.3 Beispiele komplexer Konfigurationen: Die HESSE- und die CEVA-Konfigurationen.- 2.4 Spiegelungsgruppen und Geradenkonfigurationen.- 3 Geradenkonfigurationen und Kummersche Überlagerungen der projektiven Ebene.- 3.1 Drei Beispiele von Ballquotientenflächen.- 3.2 Zur Klassifikation der Überlagerungsflächen.- 3.3 Ungleichungen für CHERNsche Zahlen und Kombinatorik von Geradenkonfigurationen.- 3.4 Zur Geographie der CHERNschen Zahlen.- 4 Gewichtete Konfigurationen von Kurven und verzweigte Überlagerungen algebraischer Flächen.- 4.1 Gewichtete Kurvenkonfigurationen, passende Überlagerungen, CHERNsche Zahlen und Proportional itätsberechnungen.- 4.2 Rationale Ausnahmekurven und negative Gewichte.- 4.3 Elliptische Kurven und das Gewicht Unendlich.- 5 Gewichtete Geradenkonfigurationen, Proportionalität und Ballquotienten.- 5.1 Proportionalitätsbedingungen.- 5.2 Konstante Geradengewichtung und isobare Konfigurationen.- 5.3 Existenz passender Überlagerungen.- 5.4 Das vollständige Viereck: Proportionalität und hyperbolische Gewichtungen.- 5.5 Das vollständige Viereck: Spezielleproportionale Überlagerungen.- 5.6 Die CEVA-Konfigurationen.- 5.7 Spiegelungsgruppen-Konfigurationen und Ballquotienten.- Anhang A Algebraische Flächen.- A.1 Invarianten und Klassifikation.- A.2 Logarithmische Formen und Invarianten.- Anhang B Differentialgeometrische Methoden.- B.1 Ballquotienten und CHERNsche Zahlen.- B.2 KÄHLER-EINSTEIN-Metriken und Ballquotienten.- B.3 Kompaktifizierte Ballquotienten und logarithmische Proportionalität.- Anhang C Topologische Konstruktionen.- C.1 Verzweigte Überlagerungen.- C.2 Passende Überlagerungen zu gewichteten Kurvenkonfigurationen.- C.3 Die Fundamentalgruppe des Komplements einer Geradenkonfiguration.- C.4 Existenzuntersuchung mit Hilfe der Fundamentalgruppe.- C.5 ABE Lsche Überlagerungen.- C.6 Passende Überlagerungen zu den Spiegelungsgruppen-Konfigurationen.- Sachwortverzeichnis.
