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Meine Zahlentheorievorlesung des vergangenen Wintersemesters, deren Niederschrift ich hiermit dem mathematischen Publikum unter breite, hatte zwei Ziele. Das erste war, die Rechenfertigkeit meiner Hörer zu verbessern. Dabei meine ich mit Rechenfertigkeit nicht etwa Rechenschnelligkeit, die im Rechenunterricht der Schule, wie ich. wiederum durch meine Kinder weiß, allzusehr in den Vordergrund gerückt wird. Rechenfertigkeit sollte zu allererst Rechensicherheit mit sich bringen, denn Schnelligkeit bedeutet gar nichts, wenn das Ergeb nis falsch ist. Man sollte sich also Zeit lassen beim Rechnen. Man sollte sich Rechenaufgaben erst einmal ansehen, bevor man anfängt zu rechnen. Denn Zahlen sind Individuen, und ein geschickter Rechner wird ihre individuellen Eigenschaften bei der Rechnung nutzen. Re chenfertigkeit heißt also auch, daß man Rechenvorteile erkennt und nutzt. Das fängt schon damit an, daß man den Malpunkt zwischen zwei Zahlen nicht als zwingenden Befehl auffaßt, die Multiplikation auch wirklich auszuführen. (Wer glaubt, so etwas brauche man nicht zu erwähnen, der beobachte einmal, wie viele überflüssige Rechnungen Kinder machen, wenn sie Brüche addieren, multiplizieren oder der Größe nach vergleichen. ) Solcherlei predige ich immer wieder meinen Kindern, und solcherlei wollte ich auch den Hörern meiner Vorlesung nahebringen. Hierzu gehört natürlich auch zu zeigen, wie man Sätze der Zahlentheorie benutzen kann, um zu numerischen Resultaten zu kommen. Daß dies möglich ist, ist schließlich nicht verwunderlich, entstand doch ein großer Teil der Zahlentheorie aus den Bedürfnissen der Rechenpraxis; man denke etwa an Euler, der z. B.
List of contents
Die Algorithmen von Euklid und Berlekamp.- Der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung.- Z ist Hauptidealring.- Ein Satz von Kaplansky.- Das Sieb des Eratosthenes.- Quadrattafeln.- Der chinesische Restsatz.- Teilbarkeitskriterien.- Rationale Zahlen.- Das Gaußsche Lemma.- Quadratische Zahlkörper.- Der euklidische Algorithmus.- Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen.- Die Einheitengruppe von Ad für d 0.- Kettenbrüche.- Zwei Beispiele.- Die modulare Gruppe als Operatorgruppe auf der Menge der Irrationalzahlen.- Reelle Wurzeln quadratischer Gleichungen.- Die Berechnung der Fundamentaleinheit.- Das quadratische Reziprozitätsgesetz.- Arithmetik in Ad.- Die Berechnung der Klassenzahl von Ad.
