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Ais Pflichtveranstaltung fOr viele Studierende verschiedener Fachrichtungen kommt jeweils dem ersten Semester einer Vorlesungsreihe Ober Funktionentheorie eine besonders groBe Bedeutung zu. Deshalb setzten wir uns zum Ziel, die m6glichen Inhalte einer solchen einfOhrenden Veranstaltung zu einem Repetitorium zusammenzufassen, thematisch zu gliedern und anhand ausfOhrliche bearbeiteter PrOfungsaufgaben zu erlautern. Dem Studierenden soli mit diesem Repetitorium die Einordnung und das Erlernen des Vorlesungsstoffes erleichtert werden. Die zahlreichen bearbeiteten Aufgaben sollen das Verstandnis der Theorie vertiefen, sowie eine Hilfe sein beim L6sen von Obungsaufgaben und bei der Vorbereitung auf die Semester klausuren. Bei der Auswahl des Inhalts berOcksichtigten wir auch diejenigen Themen, die in einer einsemestrigen EinfOhrungsvorlesung oft nur am Rande oder erst im zweiten Semester behandelt werden kbnnen, deren Wichtigkeit aber eine Aufnahme in dieses Repetitorium rechtfertigt. Beispiele hierzu sind die konformen Abbildungen, die harmonischen Funktionen, die Indexfunktion, die Homologieversionen der Integralsatze, die Riemannsche Zahlensphare, der Holomorphiebegriff im unendlich fernen Punkt sowie die Si:itze von Mittag-Leffler und WeierstraB. Jeder Paragraph gliedert sich in einen Theorie- und einen Aufgabenteil. Der erste Abschnitt faBt die wichtigsten Definitionen und Aussagen zusammen, die zum Lbsen der Aufgaben des zweiten Teils benbtigt werden.
List of contents
I Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie. Harmonische Funktionen.-
1 Reelle Differenzierbarkeit - Komplexe Differenzierbarkeit.-
2 Holomorphie.-
3 Fundamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen.-
4 Biholomorphe Abbildungen.-
5 Harmonische Funktionen.- II Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen.-
1 Konvergenzbegriffe.-
2 Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz. Der Satz von Montel.-
3 Potenzreihen.-
4 Laurentreihen.- III Elementare holomorphe Funktionen. Erweiterung des Holomorphiebegriffs.-
1 Polynome und rationale Funktionen.-
2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen.-
3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen.-
4 Transzendente Funktionen.-
5 Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- IV Konforme Abbildungen.-
1 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsche Abbildungssatz.-
2 Gebrochen lineare Abbildungen (Möbiustransformationen).-
3 Liste der wichtigsten konformen Abbildungen.- V Integration komplexer Funktionen. Stammfunktion. Integralsatz von Cauchy.-
1 Integralbegriffe in der Funktionentheorie.-
2 Stammfunktion und Integrabilität.-
3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.-
4 Parameterintegrale.- VI Reihenentwicklung holomorpher Funktionen. Meromorphe Funktionen. Die Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß.-
1 Entwicklung nach Taylor: Holomorphe Funktionen in Kreisscheiben.-
2 Entwicklung nach Laurent: Holomorphe Funktionen in Kreisringen.-
3 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Endlichen.-
4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt ?.-
5 Meromorphe Funktionen.-
6 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz.- VII Das Residuum. Der Residuensatz. Anwendungen.-
1 Das Residuum - Der Residuensatz.-
2 Berechnung spezieller Integrale.-
3 Der Residuensatz für den Punkt ?.- Anhang A Topologische Grundbegriffe.- Anhang B Wege und Gebiete in der Funktionentheorie.- Anhang C Zusammenfassung der Holomorphiecharakteristika.- Symbol Verzeichnis.- Verzeichnis der Aufgaben.
