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Bachelorarbeit aus dem Jahr 2012 im Fachbereich Mathematik - Stochastik, Note: 1,3, Karlsruher Institut für Technologie (KIT) (Institut für Stochastik), Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Arbeit behandelt die Kalkulation von Prämien bezogen auf das Versicherungswesen - ein Thema von großer Bedeutung. Einerseits muss sichergestellt werden, dass die Versicherungsunternehmen durch hinreichend hohe Prämien in der Lage sind, ihre Leistungsversprechen gegenüber den Versicherungsnehmern im Rahmen der Versicherungsverträge mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einzuhalten. Andererseits sollte die Kalkulation von Prämien "fair" erfolgen, so dass jeder Versicherungsnehmer gemäß des Risikos seiner zu versichernden zufälligen zukünftigen Schadenhöhen bewertet wird und die Prämie nicht unangemessen oder ungerechtfertigt hoch festgesetzt wird. Hierzu werden wir im Folgenden von einem Versicherungsunternehmen ausgehen, welches ein oder mehrere Risiken versichert und für jedes Risiko als auch einen Bestand von Risiken eine Prämie bestimmen will.
Zunächst werden wir in Kapitel 2 Prämienprinzipien und einige andere wichtige Begriffe mathematisch präzisieren und im Anschluss gewünschte Eigenschaften von Prämienprinzipien kennenlernen. Schließlich werden wir zwei grundlegende Prämienprinzipien vorstellen und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersuchen.
In Kapitel 3 betrachten wir explizite Prämienprinzipien, die dadurch charakterisiert sind, dass sie für jedes Risiko die Prämie explizit durch eine Funktion der Erwartungswerte bestimmter Funktionen des Risikos festsetzen. Wir werden hierbei viele verschiedene Prämienprinzipien und ihre Eigenschaften kennenlernen.
In Kapitel 4 befassen wir uns mit dem Zusammenhang von Prämienprinzipien und Verlustfunktionen. Wir werden sehen, wie sich einige der bis dahin vorgestellten Prämienprinzipien durch das Minimieren einer Verlustfunktion begründen lassen.
In Kapitel 5 beschäftigen wir uns mit Nutzenfunktionen und deren Anwendung im Nullnutzenprinzip, um Prämien festzusetzen. Mithilfe einiger Definitionen und Sätze werden wir das Nullnutzen-Prinzip hinsichtlich einer gewünschten Eigenschaft untersuchen und im Zusammenhang mit Nutzenfunktionen das Arrow-Pratt-Maß betrachten.
Schließlich behandelt Kapitel 6 die Aufteilung der Prämie, es wird nun ein Bestand von Risiken betrachtet. Hierzu werden wir weitere Eigenschaften von Prämienprinzipien kennenlernen, wobei der Ausgleich im Kollektiv äußerst wünschenswert ist. Wir werden beispielhaft sehen, wie sich die Prämie für einen Bestand auf die einzelnen Risiken aufteilen lässt und dieses Vorgehen im Zuge des Kovarianz-Prinzips verallgemeinern.
