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Dieses Buch bietet eine erste Einführung in die mathematische Theorie der dynamischen Systeme, die für Studierende des letzten Studienjahres des Bachelor Studiums und für das Master Studium geeignet ist. Aufbauend auf den Grundbegriffen der Topologischen Dynamik und der Ergodentheorie in den ersten beiden Kapiteln behandelt das dritte Kapitel den für die Ergodentheorie zentralen Begriff der Entropie, der seinen Ursprung in der statistischen Physik und der Informationstheorie hat, und der die Komplexität eines maßtheoretischen dynamischen Systems quantifiziert. Das vierte Kapitel ist ebenfalls der Entropie gewidmet, diesmal aber im Rahmen der topologischen Dynamik, bei der Entropie einen quantitativen Ausdruck für die Verformung eines kompakten metrischen Raumes durch eine stetige Transformation darstellt. Das fünfte und letzte Kapitel gibt einen kleinen Einblick in aktuelle Entwicklungen der Theorie der dynamischen Systeme mit ihren mehrparametrischen Verallgemeinerungen des klassischen Konzepts der 'Zeitentwicklung' und den daraus entspringenden und zum Teil überraschenden Querverbindungen zu anderen mathematischen Disziplinen.
Das in Vorlesungen erprobte Material dieses Buches kann durch eine den Interessen der Studierenden angepasste Themenauswahl wahlweise für eine ein- oder zweisemestrige Vorlesung eingesetzt werden.
List of contents
Vorwort.- I Topologische Dynamik.- 1 Topologische dynamische Systeme.- 2 Symbolische Dynamik.- 3 Invariante Masse.- 4 Aufgaben zu Kapitel I.- II Ergodentheorie.- 5 Ergodensätze.- 6 Mischungseigenschaften.- 7 Anwendungen der Ergodensaetze.- 8 Aufgaben zu Kapitel II.- III Entropie.- 9 Zum Begriff 'Entropie'.- 10 Entropie einer Zerlegung.- 11 Entropie einer Transformation.- 12 Der Ergodensatz der Informationstheorie.- 13 Berechnen der Entropie.- 14 Aufgaben zu Kapitel III.- IV Topologische Entropie .- 15 Definition der topologischen Entropie.- 16 Expansive Homöomorphismen.- 17 Die Entropieabbildung und das Variationsprinzip.- 18 Aufgaben zu Kapitel IV.- V Mehrparametrische dynamische Systeme.- 19 Gruppenaktionen.- 20 Furstenbergs Frage.- 21 Aktionen mittelbarer Gruppen.- 22 Ein Beispiel: Eine Aktion der Gruppe SL2(R).- 23 Aufgaben zu Kapitel V.- Literaturverzeichnis. Index.
About the author
Manfred Einsiedler ist Professor für Mathematik an der ETH Zürich.
Klaus Schmidt ist Professor für Mathematik an der TU Wien.
