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Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen."
List of contents
0 Einleitung.- 0.1 Bernhard Riemann in seiner Zeit.- 0.2 Die Goldenen Fünfziger Jahre in Göttingen: von Gauss und Dirichlet zu Riemann und Dedekind.- 0.3 Wirkungen in den letzten Jahren: Riemann zwischen Deutschland und Italien.- 0.4 Konkurrierende Auffassungen der Analyis vor Riemann.- 1 Komplexe Analysis.- 1.1 Die Genese der komplexen Analysis bis zur Zeit Riemanns.- 1.2 Die Dissertation von 1851.- 1.3 Die Ausgestaltungen.- 1.4 Die Zetafunktion und die Primzahlverteilung.- 2 Reelle Analysis.- 2.1 Grundlagen der reellen Analysis.- 2.2 Trigonometrische Reihen vor Riemann.- 2.3 Riemanns Ergebnisse.- 2.4 Trigonometrische Reihen nach Riemann.- 2.5 Ein Kapitel für sich: Gauss, Riemann und die Göttinger Atmosphäre.- 3 Geometrie, Physik, Philosophie.- 3.1 Geometrie.- 3.2 Physik.- 3.3 Zur Philosophie.- 4 Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik.- 4.1 Die Suche der Historiker nach Revolutionen in der Mathematik.- 4.2 Der Wendepunkt in der Auffassung des Unendlichen in der Mathematik.- 4.3 Wendepunkt der Methode: Denken statt Rechnen.- 4.4 Der Wendepunkt in der Ontologie: Mathematik als Denken in Begriffen.- 4.5 Ontologie und Methodologie der Mathematik in der Zeit nach Riemann.- 4.6 Schlussbemerkungen.- Namenverzeichnis.- Abbildungsverzeichnis.
