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47 brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist.
2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vor kommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b dUrch das von a ausdrucken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange ajn teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke ajn gleich b wird: b=!!!...-a.
List of contents
Erstes Kapitel Die natürlichen Zahlen.- Ergänzung zu Kapitel I. Zahlentheorie.- Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik.- Ergänzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra).- Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkörper.- Zahlkörper.- Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien.- 1. Einleitung.- 2. Grundlegende Begriffe.- 3. Das Doppel Verhältnis.- 4. Parallelität und Unendlichkeit.- 5. Anwendungen.- 6. Analytische Darstellung.- 7. Aufgaben über Konstruktionen mit dem Lineal allein.- 8. Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung.- 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie.- Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen.- Fünftes Kapitel Topologie.- Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte.- Ergänzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit.- Siebentes Kapitel Maxima und Minima.- Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung.- Ergänzung zu Kapitel VIII.- Ergänzungen, Probleme und Übungsaufgaben.- Arithmetik und Algebra.- Analytische Geometrie.- Geometrische Konstruktionen.- Projektive und nichteuklidische Geometrie.- Topologie.- Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit.- Maxima und Minima.- Infinitesimalrechnung.- Integrationstechnik.- Hinweise auf weiterführende Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.
