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Dieses Buch behandelt in einer eleganten, vergleichsweise konzisen Form zentrale Themen der Analysis, wie sie in einer zweisemestrigen Vorlesung für Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure, aber auch für Informatiker an Universitäten und Fachhochschulen behandelt werden. Die Ideen werden - mit ständigem Blick auf Anwendungen - behutsam herausgearbeitet, zu leistungsfähigen Methoden ausgestaltet und durch vollständig durchgerechnete Beispiele erläutert. Instruktive Abbildungen tragen zur Veranschaulichung bei. Eine Fülle von Übungsaufgaben rundet den Text ab. Das Buch ist als Basis für eine Vorlesung, aber auch zum Selbststudium, bestens geeignet.
List of contents
1 Grundlagen.- 1.1 Mengen und ihre Verknüpfungen.- 1.2 Aussagen und Quantoren.- 1.3 Abbildungen und ihre Eigenschaften.- 1.4 Die reellen Zahlen.- 1.5 Die natürlichen und die ganzen Zahlen.- 1.6 Die rationalen Zahlen.- 1.7 Zum Vollständigkeitsaxiom.- 1.8 Darstellungen reeller Zahlen.- 1.9 Komplexe Zahlen.- 2 Funktionen einer reellen Variablen.- 2.1 Der Funktionsbegriff.- 2.2 Ganzrationale Funktionen (Polynome).- 2.3 (Gebrochen) Rationale Funktionen.- 3 Folgen, Reihen - GrenzwertbegrifF, Stetigkeit.- 3.1 Folgen.- 3.2 Reihen.- 3.3 Potenzreihen.- 3.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit.- 4 Differentialrechnung.- 4.1 Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten.- 4.2 Differentiationsregeln (Ableitungskalkül).- 4.3 Beispiele.- 4.4 Satz von ROLLE und verallgemeinerter Mittelwertsatz; lokales Verhalten.- 4.5 Differentiation von Potenzreihen.- 4.6 Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos - Teil II.- 4.7 Die Funktionen tan, cot, Tan, Cot.- 4.8 Differentiation der Umkehrfunktion.- 4.9 Höhere Ableitungen.- 4.10 Konvexität, Konkavität.- 4.11 Anwendungen.- 4.12 Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen.- 5 Integralrechnung.- 5.1 Stammfunktionen (unbestimmte Integrale).- 5.2 Bestimmtes Integral, Flächeninhalt.- 5.3 Uneigentliche Integrale.- 5.4 Elementare Methoden zur numerischen Berechnung von Integralen.- 6 Approximation von Funktionen.- 6.1 Polynom-Interpolation.- 6.2 TAYLOR-Reihen.- 6.3 Unbestimmte Ausdrücke, Regeln von DE L'HOPITAL.- 6.4 FOURIER-Reihen.- 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGLn).- 7.1 Richtungsfelder (für explizite DGLn 1. Ordnung).- 7.2 DGLn mit "getrennten Variablen".- 7.3 Die lineare DGL 1. Ordnung.- 7.4 BERNOULLische DGL.- 7.5 EuLER-homogene DGLn.- 7.6 Explizite DGLn 2. Ordnung ,ohne y'.- 7.7 Explizite DGLn 2. Ordnung,ohne x'.- 7.8Lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 8 Differenzenrechnung und Differenzengleichungen.- 8.1 Differenzenoperator.- 8.2 Höhere Differenzen.- 8.3 Faktorielle.- 8.4 (Gewöhnliche) Differenzengleichungen.- 8.5 Lineare Differenzengleichungen.- 8.6 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung.- 8.7 Lineare DZGn mit konstanten Koeffizienten, Operatormethoden.- 8.8 Inhomogene Differenzengleichungen.- 9 Funktionen mehrerer Variabler.- 9.1 Der ?n als normierter Vektorraum.- 9.2 ,Geometrie' ?-wertiger Funktionen.- (Graphen, Niveaumengen, Vertikalschnitte).- 9.3 Folgenkonvergenz, Grenzwert (von Funktionen) und Stetigkeit.- 9.4 (,Totale') Differenzierbarkeit, partielle Differenzierbarkeit.- 9.5 Partielle Ableitungen höherer Ordnung, Satz von SCHWARZ.- 9.6 Satz von TAYLOR, Fehlerfortpflanzung, HESSEsche Matrix.- 9.7 Extremwerte (Notwendige und hinreichende Bedingungen).- 9.8 Satz über implizite Funktionen, Extrema unter Nebenbedingungen (LAGRANGE-Multiplikatoren).- 10 Übungen.- 10.1 Übungen zu Kapitel 1.- 10.2 Übungen zu Kapitel 2.- 10.3 Übungen zu Kapitel 3.- 10.4 Übungen zu Kapitel 4.- 10.5 Übungen zu Kapitel 5.- 10.6 Übungen zu Kapitel 6.- 10.7 Übungen zu Kapitel 7.- 10.8 Übungen zu Kapitel 8.- 10.9 Übungen zu Kapitel 9.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.
Summary
Dieses Buch behandelt in einer eleganten, vergleichsweise konzisen Form zentrale Themen der Analysis, wie sie in einer zweisemestrigen Vorlesung für Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure, aber auch für Informatiker an Universitäten und Fachhochschulen behandelt werden. Die Ideen werden - mit ständigem Blick auf Anwendungen - behutsam herausgearbeitet, zu leistungsfähigen Methoden ausgestaltet und durch vollständig durchgerechnete Beispiele erläutert. Instruktive Abbildungen tragen zur Veranschaulichung bei. Eine Fülle von Übungsaufgaben rundet den Text ab. Das Buch ist als Basis für eine Vorlesung, aber auch zum Selbststudium, bestens geeignet.
