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L'algèbre linéaire a la réputation d'être difficile et les grands exposés classiques
s'appuient sur des traditions qui s'opposent. Ou bien l'on écrit un texte
théorique qui se termine par les applications concernant le calcul matriciel et
la résolution des systèmes linéaires : cela exige du lecteur un gros effort
d'abstraction. Ou bien l'on commence par le calcul matriciel pour rejeter la théorie
en fin d'exposé : elle vient alors trop tard pour donner un sens à ce qui précède.
Cet ouvrage reprend l'architecture et les principes de la première édition. Il s'agit
de nouer les fils des deux traditions : le calcul et les applications sont exposés le plus
tôt possible. Les concepts sont donnés lorsque la pratique montre qu'il n'est plus
possible de faire autrement. Le souci didactique n'est pas absent.
Plusieurs modes de lecture de l'ouvrage sont possibles. Il s'adresse aussi bien aux
étudiants des premiers cycles universitaires ou des classes préparatoires aux grandes
écoles qu'à des lecteurs un peu plus avertis qui ont besoin de revenir sur un savoir
que les années ont parfois estompé.
Les onze premiers chapitres guideront le débutant jusqu'au théorème du rang et
aux changements de base. Ils sont centrés sur le calcul matriciel, l'algorithme du
pivot, la résolution des systèmes linéaires et la structure d'algèbre.
Les six chapitres suivants sont plus abstraits. On y reprend certains des résultats
précédents pour en donner de nouvelles démonstrations qui s'inscrivent dans un
cadre essentiellement théorique.
Les chapitres consacrés à la théorie de la réduction ont été complètement réécrits
afin de mettre en valeur la notion de polynôme minimal. Les chapitres suivants sont
consacrés à la structure des espaces vectoriels euclidiens. Ils sont élémentaires. Un dernier
chapitre donne une petite introduction à la théorie des formes bilinéaires symétriques.
Enfin le corps principal de l'ouvrage est suivi d'études qui sont autant de
parcours horizontaux et d'approfondissements de la théorie. Les exercices, souvent
élémentaires, sont tous corrigés, ce qui explique le volume de l'ouvrage.
