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Ce livre est consacré aux séries, puis aux intégrales de Fourier, à l'interaction de l'analyse de Fourier avec l'analyse complexe et enfin, dans un dernier chapitre très original, à l'analyse de Fourier « non commutative ». Celle-ci est traitée sur des exemples qui permettent aux débutants d'en découvrir les aspects essentiels sans être rebutés par les préliminaires techniques habituels. C'est d'ailleurs une caractéristique de l'ensemble de l'ouvrage que de laisser au second plan les aspects les plus techniques. Les auteurs ont préféré porter leur attention sur la flexibilité et l'extraordinaire puissance de la théorie élémentaire issue des idées de Fourier et sur la stupéfiante variété des applications dans lesquelles elle est le principal outil. En voici un petit échantillon :
Sommes de séries ¤ problème isopérimétrique ¤ identité de Jacobi pour la fonction thêta ¤ diffusion de la chaleur ¤ équation des ondes et, en particulier, principe de Huygens ¤ marches aléatoires ¤ formule sommatoire de Poisson ¤ circuits électriques et filtres ¤ théorème limite central ¤ inégalité d'Heisenberg ¤ signaux limités en bande et signaux limités en temps ¤ théorème de Minkowski en géométrie des nombres ¤ équilibre radiatif dans les étoiles ¤ identité de Spitzer ¤ approximation polynomiale ¤ distribution des nombres premiers ¤ loi de réciprocité quadratique de Gauss ¤ effet Zeeman dans l'atome d'hydrogène ¤ fonctions sphériques ¤ représentations du groupe des rotations SO(3).
L'exposé est extrêmement vivant, Dym et McKean dialoguent avec le lecteur et lui confient, sous forme d'exercices, une bonne partie des démonstrations. À la parution de Séries et intégrales de Fourier en 1972, le Bulletin of the American Mathematical Society saluait la publication d'un « livre important », en précisant : « Ce qui a manqué jusqu'à aujourd'hui, c'est un manuel à la portée d'un public assez large, qui explique de quoi parle l'analyse de Fourier ; qui explicite des relations qu'elle entretient avec les probabilités et la théorie des nombres, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, l'électronique et la mécanique quantique ; et qui combine tout cela proprement... Dym et McKean ont écrit un livre remarquable, qu'on aimerait voir dans la bibliothèque de tous les analystes, et entre les mains de tous leurs étudiants. »
